O diâmetro de certa espécie de árvore é uma variável aleatória com distribuição normal de média 50 cm e desvio padrão de 6 cm . Se o diâmetro de uma árvore diferir da média de mais de 10 cm , esta árvore é vendida por 10 \mathrm{u} . \mathrm{m}; caso contrário, é vendida por 20 \mathrm{u} . \mathrm{m}. Qual o preço médio de venda de cada árvore?

Passo 1

O enunciado nos diz que o diâmetro D de uma árvore segue distribuição normal com média \mu=50 cm e desvio padrão \sigma=6 cm, ou seja,
D\sim N(50,6^2).
A regra de venda é: se \lvert D-50\rvert>10 cm, o preço é 10 u.m.; caso contrário, é 20 u.m. Precisamos calcular a esperança do preço, isto é, o valor médio esperado da venda de cada árvore.

Passo 2

Denotando por P o preço de venda, temos a expressão da esperança
E[P] =10\;P\bigl(\lvert D-50\rvert>10\bigr)\;+\;20\;P\bigl(\lvert D-50\rvert\le10\bigr).
Como P\bigl(\lvert D-50\rvert\le10\bigr)=1-P\bigl(\lvert D-50\rvert>10\bigr), podemos reescrever
E[P] =10\,p+20\,(1-p) =20-10\,p,
onde definimos
p=P\bigl(\lvert D-50\rvert>10\bigr).

Passo 3

Para encontrar p, note que
p =P(D-50>10)+P(D-50<-10) =2\,P(D-50>10)
pela simetria da normal. Padronizando Z=(D-50)/6\sim N(0,1), temos
P(D-50>10) =P\Bigl(Z>\frac{10}{6}\Bigr) =1-\Phi\Bigl(\frac{10}{6}\Bigr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 4

O valor exato do limiar é
\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\approx1{,}667.
Logo
p =2\bigl[1-\Phi(5/3)\bigr].
Substituindo em E[P]=20-10\,p, obtemos
E[P] =20-20\bigl[1-\Phi(5/3)\bigr] =20\,\Phi(5/3).

Passo 5

Consultando tabela da normal, \Phi(5/3)\approx0{,}9522. Portanto
E[P]\approx20\times0{,}9522=19{,}044.

Resposta

O preço médio de venda de cada árvore é aproximadamente 19{,}04 u.m.

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