O diâmetro de certa espécie de árvore é uma variável aleatória com distribuição normal de média 50 cm e desvio padrão de 6 cm . Se o diâmetro de uma árvore diferir da média de mais de 10 cm , esta árvore é vendida por
; caso contrário, é vendida por
. Qual o preço médio de venda de cada árvore?
Passo 1
O enunciado nos diz que o diâmetro
de uma árvore segue distribuição normal com média
cm e desvio padrão
cm, ou seja,
A regra de venda é: se
cm, o preço é 10 u.m.; caso contrário, é 20 u.m. Precisamos calcular a esperança do preço, isto é, o valor médio esperado da venda de cada árvore.
Passo 2
Denotando por
o preço de venda, temos a expressão da esperança
Como
, podemos reescrever
onde definimos
Passo 3
Para encontrar
, note que
pela simetria da normal. Padronizando
, temos
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
Passo 4
O valor exato do limiar é
Logo
Substituindo em
, obtemos
Passo 5
Consultando tabela da normal,
. Portanto
Resposta
O preço médio de venda de cada árvore é aproximadamente
u.m.