[ 0,5 ponto] Qual a relação entre as distribuições exponencial e de Poisson? Como seus parâmetros se relacionam? Ilustre com um exemplo prático.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a ligação entre a distribuição de Poisson (que conta o número de eventos num intervalo) e a distribuição exponencial (que descreve o tempo entre esses eventos). O conteúdo aqui é o processo de Poisson, em que eventos ocorrem aleatoriamente a uma taxa média constante. Para resolver, vamos definir o processo, lembrar da lei de Poisson para contagens e deduzir a lei exponencial para os tempos de espera.

Passo 2

Num processo de Poisson com taxa \lambda>0 (eventos por unidade de tempo), o número de eventos N(t) que ocorrem em um intervalo de comprimento t tem distribuição de Poisson:
P\bigl(N(t)=k\bigr) =\frac{(\lambda t)^{k}e^{-\lambda t}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots
Nessa descrição, o parâmetro de Poisson é \lambda t, pois em tempo t esperamos em média \lambda t eventos.

Passo 3

Definimos T como o tempo até o primeiro evento. Para que o primeiro evento só ocorra depois de t, é necessário que zero eventos tenham ocorrido até t. Logo,
P(T>t)=P\bigl(N(t)=0\bigr)=e^{-\lambda t}.
Isso mostra que T segue distribuição exponencial de parâmetro \lambda. De fato, a densidade é
f_T(t) =\frac{d}{dt}\bigl(1-P(T>t)\bigr) =\lambda e^{-\lambda t}, \quad t\ge0,
o que é a definição de \mathrm{Exp}(\lambda).

Passo 4

Portanto, a relação de parâmetros é que a taxa \lambda do processo de Poisson aparece diretamente na distribuição exponencial dos tempos de espera.
  • Para Poisson: N(t)\sim\mathrm{Pois}(\lambda t).
  • Para Exponencial: tempo entre eventos T\sim\mathrm{Exp}(\lambda).
    A média de N(t) é \lambda t e a média de T é 1/\lambda.

Passo 5

Exemplo prático: num call center chegam, em média, \lambda=10 chamadas por hora.
  • O número de chamadas em 2 horas é
N(2)\sim\mathrm{Pois}(10\cdot2) =\mathrm{Pois}(20).
  • O tempo até a próxima chamada (ou entre duas chamadas) tem densidade
f_T(t)=10\,e^{-10t}, \quad t\ge0,
ou seja T\sim\mathrm{Exp}(10). Assim, probabilidade de esperar mais que 15 min ( t=0,25 h) é e^{-10\cdot0,25}=e^{-2,5}.

Resposta

Para um processo de Poisson de taxa \lambda, o número de eventos em [0,t] satisfaz
N(t)\sim\mathrm{Pois}(\lambda t),
e o tempo entre eventos é
T\sim\mathrm{Exp}(\lambda).
Os parâmetros se relacionam porque a taxa \lambda usada em Poisson vira a taxa da exponencial.

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