[ 0,5 ponto] Qual a relação entre as distribuições exponencial e de Poisson? Como seus parâmetros se relacionam? Ilustre com um exemplo prático.
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a ligação entre a distribuição de Poisson (que conta o número de eventos num intervalo) e a distribuição exponencial (que descreve o tempo entre esses eventos). O conteúdo aqui é o processo de Poisson, em que eventos ocorrem aleatoriamente a uma taxa média constante. Para resolver, vamos definir o processo, lembrar da lei de Poisson para contagens e deduzir a lei exponencial para os tempos de espera.
Passo 2
Num processo de Poisson com taxa
(eventos por unidade de tempo), o número de eventos
que ocorrem em um intervalo de comprimento
tem distribuição de Poisson:
Nessa descrição, o parâmetro de Poisson é
, pois em tempo
esperamos em média
eventos.
Passo 3
Definimos
como o tempo até o primeiro evento. Para que o primeiro evento só ocorra depois de
, é necessário que zero eventos tenham ocorrido até
. Logo,
Isso mostra que
segue distribuição exponencial de parâmetro
. De fato, a densidade é
o que é a definição de
.
Passo 4
Portanto, a relação de parâmetros é que a taxa
do processo de Poisson aparece diretamente na distribuição exponencial dos tempos de espera.
- Para Poisson:
. - Para Exponencial: tempo entre eventos
.
A média deé e a média de é .
Passo 5
Exemplo prático: num call center chegam, em média,
chamadas por hora.
- O número de chamadas em 2 horas é
- O tempo até a próxima chamada (ou entre duas chamadas) tem densidade
ou seja
. Assim, probabilidade de esperar mais que 15 min (
h) é
.
Resposta
Para um processo de Poisson de taxa
, o número de eventos em
satisfaz
e o tempo entre eventos é
Os parâmetros se relacionam porque a taxa
usada em Poisson vira a taxa da exponencial.