O diâmetro de cilindros de aço manufaturados em duas máquinas diferentes está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos
e
são selecionadas. Médias e variâncias amostrais são
,
.
Construa um intervalo de confiança bilateral de
.
Construa um intervalo de confiança bilateral de
Passo 1
O enunciado dá duas amostras independentes dos diâmetros de cilindros de aço, uma de cada máquina, e pede um intervalo de confiança bilateral de
. Os dados fornecidos são:
- Para a amostra 1:
, média amostral , variância amostral . - Para a amostra 2:
, média amostral , variância amostral .
A pergunta implícita é construir um intervalo de confiança para a diferença entre as médias populacionais
(máquina 1 menos máquina 2), com nível de confiança
.
Passo 2
Escolha do método e fórmula a usar.
Quando queremos um intervalo para a diferença
e não há indicação de que as variâncias populacionais são iguais, o método mais seguro e geral é o intervalo de Welch (t de Welch), que não assume variâncias iguais.
A fórmula do intervalo de confiança de
pelo método de Welch é
onde
-
e são as médias amostrais, -
e são as variâncias amostrais, -
e são os tamanhos amostrais, -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade (a determinar), - os graus de liberdade
são dados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
Aqui
(pois o intervalo é de
), então precisamos de
.
Passo 3
Calcular desvios-padrão amostrais a partir das variâncias dadas.
(Arredondei para
casas decimais apenas para manutenção da precisão nas contas manuais.)
Passo 4
Calcular a estimativa pontual da diferença das médias:
Passo 5
Calcular o erro padrão da diferença:
Calculemos cada parcela:
Logo
Passo 6
Calcular os graus de liberdade
pela fórmula de Welch:
Calculemos numerador e denominador separadamente.
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Somando:
Portanto
Usa-se tipicamente o
calculado (ou arredonda-se para o inteiro mais próximo para buscar a tabela). Aqui
, então podemos usar a tabela de
com
.
Passo 7
Obter o valor crítico
para
e
.
Da tabela ou de calculadora,
.
Da tabela
Passo 8
Calcular a margem de erro e os limites do intervalo:
Limites do intervalo:
Arredondando com três casas decimais (suficiente para leitura em prova), o intervalo de confiança bilateral de
para
fica
Passo 9
Interpretação rápida (para ajudar na prova): como o intervalo contém
, não há evidência, ao nível de
, de diferença real entre as médias das máquinas — isto é, a diferença observada
é compatível com zero dado a variabilidade amostral. Força aí, deu certo — lembre-se de explicar esse significado se aparecer na sua prova.