O diâmetro de cilindros de aço manufaturados em duas máquinas diferentes está sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanhos n_{1}=15 e n_{2}=17 são selecionadas. Médias e variâncias amostrais são x=8,73, s^{2}=0,34, x=8,68, s^{2}=0,39.
Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 %.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes dos diâmetros de cilindros de aço, uma de cada máquina, e pede um intervalo de confiança bilateral de 95\%. Os dados fornecidos são:
  • Para a amostra 1: n_{1}=15, média amostral \bar{x}_{1}=8,73, variância amostral s_{1}^{2}=0,34.
  • Para a amostra 2: n_{2}=17, média amostral \bar{x}_{2}=8,68, variância amostral s_{2}^{2}=0,39.
A pergunta implícita é construir um intervalo de confiança para a diferença entre as médias populacionais \mu_{1}-\mu_{2} (máquina 1 menos máquina 2), com nível de confiança 95\%.

Passo 2

Escolha do método e fórmula a usar.
Quando queremos um intervalo para a diferença \mu_{1}-\mu_{2} e não há indicação de que as variâncias populacionais são iguais, o método mais seguro e geral é o intervalo de Welch (t de Welch), que não assume variâncias iguais.
A fórmula do intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% pelo método de Welch é
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}\pm t_{\nu,\,1-\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}},
onde
  • \bar{x}_{1} e \bar{x}_{2} são as médias amostrais,
  • s_{1}^{2} e s_{2}^{2} são as variâncias amostrais,
  • n_{1} e n_{2} são os tamanhos amostrais,
  • t_{\nu,\,1-\alpha/2} é o quantil 1-\alpha/2 da distribuição t com \nu graus de liberdade (a determinar),
  • os graus de liberdade \nu são dados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
\nu \;=\; \dfrac{\left(\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}} {\dfrac{s_{1}^{4}}{n_{1}^{2}(n_{1}-1)}+\dfrac{s_{2}^{4}}{n_{2}^{2}(n_{2}-1)}}.
Aqui \alpha=0,05 (pois o intervalo é de 95\%), então precisamos de t_{\nu,\,0{,}975}.

Passo 3

Calcular desvios-padrão amostrais a partir das variâncias dadas.
s_{1}=\sqrt{s_{1}^{2}}=\sqrt{0,34}\approx 0,583095,\qquad s_{2}=\sqrt{s_{2}^{2}}=\sqrt{0,39}\approx 0,624500.
(Arredondei para 6 casas decimais apenas para manutenção da precisão nas contas manuais.)

Passo 4

Calcular a estimativa pontual da diferença das médias:
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=8,73-8,68=0,05.

Passo 5

Calcular o erro padrão da diferença:
\text{SE}=\sqrt{\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}} =\sqrt{\dfrac{0,34}{15}+\dfrac{0,39}{17}}.
Calculemos cada parcela:
\dfrac{0,34}{15}\approx 0,0226667,\qquad \dfrac{0,39}{17}\approx 0,0229412.
Logo
\text{SE}=\sqrt{0,0226667+0,0229412}=\sqrt{0,0456079}\approx 0,213574.

Passo 6

Calcular os graus de liberdade \nu pela fórmula de Welch:
\nu=\dfrac{\left(0,0226667+0,0229412\right)^{2}} {\dfrac{(0,34)^{2}}{15^{2}(15-1)}+\dfrac{(0,39)^{2}}{17^{2}(17-1)}}.
Calculemos numerador e denominador separadamente.
Numerador:
(0,0456079)^{2}\approx 0,00207936.
Denominador:
\dfrac{(0,34)^{2}}{15^{2}\cdot14}=\dfrac{0,1156}{225\cdot14}=\dfrac{0,1156}{3150}\approx 0,00003670,
\dfrac{(0,39)^{2}}{17^{2}\cdot16}=\dfrac{0,1521}{289\cdot16}=\dfrac{0,1521}{4624}\approx 0,00003288.
Somando:
\text{denom}\approx 0,00003670+0,00003288=0,00006958.
Portanto
\nu\approx \dfrac{0,00207936}{0,00006958}\approx 29{,}88.
Usa-se tipicamente o \nu calculado (ou arredonda-se para o inteiro mais próximo para buscar a tabela). Aqui \nu\approx29{,}9, então podemos usar a tabela de t com \nu\approx30.

Passo 7

Obter o valor crítico t_{\nu,\,0{,}975} para \nu\approx30 e \alpha=0{,}05.
Da tabela t ou de calculadora, t_{30,\,0{,}975}\approx 2{,}042.

Passo 8

Calcular a margem de erro e os limites do intervalo:
\text{margem}=t_{\nu,\,0{,}975}\times\text{SE}\approx 2{,}042\times 0{,}213574\approx 0{,}43598\approx 0{,}436.
Limites do intervalo:
\text{limite inferior}=0{,}05-0{,}43598\approx -0{,}38598\approx -0{,}386,
\text{limite superior}=0{,}05+0{,}43598\approx 0{,}48598\approx 0{,}486.
Arredondando com três casas decimais (suficiente para leitura em prova), o intervalo de confiança bilateral de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2} fica
\bigl(-0,386;\;0,486\bigr).

Passo 9

Interpretação rápida (para ajudar na prova): como o intervalo contém 0, não há evidência, ao nível de 5\%, de diferença real entre as médias das máquinas — isto é, a diferença observada 0,05 é compatível com zero dado a variabilidade amostral. Força aí, deu certo — lembre-se de explicar esse significado se aparecer na sua prova.

Resposta

\bigl(-0,386;\;0,486\bigr)

Exercícios relacionados