O diâmetro do eixo principal de um disco rigido segue a distribuição Normal com média 25,08 pol. e desvio padrão 0,05 pol. Se as especificações para esse eixo são 25,00 pm 0,15 pol., determine o percentual de unidades produzidas em conformidades com as especificações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o diâmetro do eixo principal de um disco rígido que segue uma distribuição Normal com média de 25,08 polegadas e desvio padrão de 0,05 polegadas. As especificações desse eixo são de 25,00 ± 0,15 polegadas, ou seja, o diâmetro deve estar entre 24,85 e 25,15 polegadas. Nosso objetivo é descobrir qual percentual das unidades produzidas está dentro dessas especificações.
Para resolver isso, vamos usar conceitos da Distribuição Normal, que é uma das mais importantes na estatística, especialmente para entender como os dados se distribuem em torno da média.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de aceitação:
  • Limite Inferior: 25,00 - 0,15 = 24,85 polegadas
  • Limite Superior: 25,00 + 0,15 = 25,15 polegadas
Queremos saber a probabilidade de um eixo ter um diâmetro entre 24,85 e 25,15 polegadas.

Passo 3

Como estamos lidando com uma Distribuição Normal, vamos padronizar esses valores usando o Es z = X - musigma (pontuação z), que nos permite usar a tabela da distribuição normal padrão (z).
A fórmula para calcular o z é:
Onde:
  • é o valor que queremos padronizar.
  • é a média da distribuição.
  • é o desvio padrão.

Passo 4

Calculando o z para o limite inferior (24,85 polegadas):
zinferior = 24,85 - 25,080,05 = -0,230,05 = -4,6
E para o limite superior (25,15 polegadas):
zsuperior = 25,15 - 25,080,05 = 0,070,05 = 1,4

Passo 5

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses z.
  • Para :
    • Esse valor é extremamente baixo, praticamente na cauda da distribuição. A probabilidade acumulada até esse ponto é quase 0%.
  • Para :
    • Consultando a tabela, a probabilidade acumulada até z = 1,4 é aproximadamente 91,92%.

Passo 6

Para encontrar a probabilidade de um eixo estar entre 24,85 e 25,15 polegadas, subtraímos a probabilidade do limite inferior da probabilidade do limite superior:
P = P(z <= 1,4) - P(z <= -4,6) approx 91,92% - 0% = 91,92%

Resposta

Aproximadamente 91,92% das unidades produzidas estão em conformidade com as especificações.

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