Duas máquinas estão sendo comparadas quanto ao seu desempenho. As máquinas produzem, por hora, um número de peças que é modelado pela distribuição normal. Os parâmetros são dados a seguir:
Máquina Media Variância
A 110 400
B 100 625
Deseja-se comparar as máquinas pelo denominado indice regular de produtividade que é calculado pela probabilidade de produzir de 80 a 120 peças em uma hora. Um maior indice indica um melhor desempenho. Qual máquina é preferivel?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas máquinas que produzem peças por hora, e a produção delas segue uma distribuição normal. A gente precisa comparar o desempenho delas usando o índice regular de produtividade, que é a probabilidade de produzir entre 80 e 120 peças em uma hora. Quem tiver um índice maior, é a máquina que tá performando melhor. Pra isso, vamos calcular essa probabilidade para cada máquina usando a média e a variância que nos foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é definida pela média ( sigmaA = raiz400 = 20 ) e pelo desvio padrão ( sigmaB = raiz625 = 25 ), que é a raiz quadrada da variância. Então, vamos calcular o desvio padrão de cada máquina.
Para a Máquina A:
Para a Máquina B:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de produzir entre 80 e 120 peças. Isso significa calcular:
P(80 <= X <= 120)
Para cada máquina, onde segue uma distribuição normal com os parâmetros correspondentes.

Passo 4

Vamos padronizar essa probabilidade usando a transformação Z1 = 80 - 11020 = -3020 = -1.5 , que nos dá a distribuição normal padrão Z2 = 120 - 11020 = 1020 = 0.5 .
Para a Máquina A:
Z1 = 80 - 10025 = -2025 = -0.8
Z2 = 120 - 10025 = 2025 = 0.8
Para a Máquina B:

Passo 5

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes aos valores de P(-1.5 <= Z <= 0.5) = P(Z <= 0.5) - P(Z <= -1.5) .
Para a Máquina A:
P(Z <= 0.5) approx 0.6915
Consultando a tabela, temos:
P(Z <= -1.5) approx 0.0668
P(-1.5 <= Z <= 0.5) = 0.6915 - 0.0668 = 0.6247
Então:
P(-0.8 <= Z <= 0.8) = P(Z <= 0.8) - P(Z <= -0.8)
Para a Máquina B:
P(Z <= 0.8) approx 0.7881
Consultando a tabela, temos:
P(Z <= -0.8) approx 0.2119
P(-0.8 <= Z <= 0.8) = 0.7881 - 0.2119 = 0.5762
Então:

Passo 6

Agora, vamos comparar os índices de produtividade obtidos:
  • Máquina A: ou
  • Máquina B: ou

Resposta

A Máquina A é preferível, pois tem um índice regular de produtividade de aproximadamente 62,47%, superior aos 57,62% da Máquina B.

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