Duas máquinas estão sendo comparadas quanto ao seu desempenho. As máquinas produzem, por hora, um número de peças que é modelado pela distribuição normal. Os parâmetros são dados a seguir:
Máquina
Media
Variância
A
110
400
B
100
625
Deseja-se comparar as máquinas pelo denominado indice regular de produtividade que é calculado pela probabilidade de produzir de 80 a 120 peças em uma hora. Um maior indice indica um melhor desempenho. Qual máquina é preferivel?
Máquina | Media | Variância |
A | 110 | 400 |
B | 100 | 625 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas máquinas que produzem peças por hora, e a produção delas segue uma distribuição normal. A gente precisa comparar o desempenho delas usando o índice regular de produtividade, que é a probabilidade de produzir entre 80 e 120 peças em uma hora. Quem tiver um índice maior, é a máquina que tá performando melhor. Pra isso, vamos calcular essa probabilidade para cada máquina usando a média e a variância que nos foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é definida pela média (
) e pelo desvio padrão (
), que é a raiz quadrada da variância. Então, vamos calcular o desvio padrão de cada máquina.
Para a Máquina A:
Para a Máquina B:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de produzir entre 80 e 120 peças. Isso significa calcular:
Para cada máquina, onde
segue uma distribuição normal com os parâmetros correspondentes.
Passo 4
Vamos padronizar essa probabilidade usando a transformação
, que nos dá a distribuição normal padrão
.
Para a Máquina A:
Para a Máquina B:
Passo 5
Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes aos valores de
.
Para a Máquina A:
Consultando a tabela, temos:
Então:
Para a Máquina B:
Consultando a tabela, temos:
Então:
Passo 6
Agora, vamos comparar os índices de produtividade obtidos:
- Máquina A:
ou - Máquina B:
ou
Resposta
A Máquina A é preferível, pois tem um índice regular de produtividade de aproximadamente 62,47%, superior aos 57,62% da Máquina B.