Em am processo químico, a temperatura média ideal é 80^{\circ} \mathrm{C}. Com uma amostra de { }^{3}=12 observações, obteve-se \bar{x}=82,5^{\circ} \mathrm{C} e s=4^{\circ} \mathrm{C}. Teste, ao nível de \alpha=0,10, se a média difere do valor ideal.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Pedido: testar, ao nível de significância \alpha=0,10, se a média do processo químico difere do valor ideal de 80^\circ\mathrm{C}. Ou seja, é um teste bilateral.
  • Dados fornecidos:
    • tamanho da amostra n=12;
    • média amostral \bar{x}=82{,}5^\circ\mathrm{C};
    • desvio-padrão amostral s=4^\circ\mathrm{C};
    • nível de significância \alpha=0{,}10.

Passo 2

Formular as hipóteses do teste (muito importante entender o que cada hipótese significa).
  • Hipótese nula: H_0:\\ \mu=80^\circ\mathrm{C}. (Significa que a média do processo é igual ao ideal.)
  • Hipótese alternativa: H_a:\\ \mu\neq 80^\circ\mathrm{C}. (Significa que a média difere — para mais ou para menos — do ideal.)

Passo 3

Escolher o teste adequado e escrever a estatística de teste, com explicação do porquê.
  • Por que usar o teste t de Student: a amostra é pequena ( n<30) e o desvio padrão populacional \sigma não é conhecido, então usamos o desvio amostral s e a distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Estatística de teste (fórmula):
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}
Explicando cada símbolo: \bar{x} é a média amostral, \mu_0 é a média sob H_0 (aqui 80), s é o desvio-padrão amostral e n é o tamanho da amostra. O denominador s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar).

Passo 4

Calcular a estatística de teste passo a passo.
  • Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{12}\approx 3{,}4641016.
  • Calcule o erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{12}}=\frac{4}{3{,}4641016}\approx 1{,}1547005.
  • Calcule a diferença entre a média amostral e a hipotética:
\bar{x}-\mu_0=82{,}5-80=2{,}5.
  • Agora a estatística t:
t=\frac{2{,}5}{1{,}1547005}\approx 2{,}164.

Passo 5

Determinar os graus de liberdade, o valor crítico e a regra de decisão (método do valor crítico).
  • Graus de liberdade: df=n-1=12-1=11.
  • Para um teste bilateral com \alpha=0{,}10, cada cauda tem \alpha/2=0{,}05. O valor crítico é t_{1-\alpha/2,\;df}=t_{0{,}95,\,11}. Pelo quadro da t de Student:
t_{0{,}95,\,11}\approx 1{,}796.
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se |t|>t_{0{,}95,\,11}. Aqui |t|\approx 2{,}164 e 2{,}164>1{,}796, logo rejeitamos H_0 pelo critério do valor crítico.

Passo 6

Cálculo aproximado do p-valor e interpretação por p-valor.
  • O p-valor bilateral é p=2\cdot P(T_{11}>|t|). Como t\approx 2{,}164 e pela tabela da t sabemos que t_{0{,}975,11}=2{,}201 (que corresponde a p bilateral =0{,}05), nosso t é um pouco menor que 2{,}201, então o p-valor bilateral está um pouco acima de 0{,}05. Usando interpolação/valor aproximado:
p\approx 0{,}054.
  • Interpretação: p\approx 0{,}054<\alpha=0{,}10. Portanto, pelo critério do p-valor também rejeitamos H_0.

Passo 7

Interpretação prática do resultado e verificação por intervalo de confiança (ajuda a entender).
  • Como fizemos o teste a \alpha=0{,}10, o intervalo de confiança correspondente é o intervalo de 90\% para \mu. Ele é dado por
\bar{x}\pm t_{0{,}95,\,11}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
  • Substituindo valores: o termo de margem é 1{,}796\times 1{,}1547005\approx 2{,}073. Logo o IC 90\% é aproximadamente
82{,}5\pm 2{,}073 \implies (80{,}427,\;84{,}573).
  • Observação: esse intervalo não contém 80^\circ\mathrm{C} (o limite inferior é 80{,}427>80), o que é coerente com a rejeição de H_0: a média amostral sugere que a média real é maior que 80^\circ\mathrm{C}.

Resposta

Rejeita H_0. Estatística t\approx 2{,}164, gl=11, p\approx 0{,}054. Conclusão: há evidência ao nível \alpha=0{,}10 de que a média difere de 80^\circ\mathrm{C}.

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