Em am processo químico, a temperatura média ideal é
. Com uma amostra de
observações, obteve-se
e
. Teste, ao nível de
, se a média difere do valor ideal.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- Pedido: testar, ao nível de significância
, se a média do processo químico difere do valor ideal de . Ou seja, é um teste bilateral. - Dados fornecidos:
- tamanho da amostra
; - média amostral
; - desvio-padrão amostral
; - nível de significância
.
- tamanho da amostra
Passo 2
Formular as hipóteses do teste (muito importante entender o que cada hipótese significa).
- Hipótese nula:
. (Significa que a média do processo é igual ao ideal.) - Hipótese alternativa:
. (Significa que a média difere — para mais ou para menos — do ideal.)
Passo 3
Escolher o teste adequado e escrever a estatística de teste, com explicação do porquê.
- Por que usar o teste
de Student: a amostra é pequena ( ) e o desvio padrão populacional não é conhecido, então usamos o desvio amostral e a distribuição com graus de liberdade. - Estatística de teste (fórmula):
Explicando cada símbolo:
é a média amostral,
é a média sob
(aqui
),
é o desvio-padrão amostral e
é o tamanho da amostra. O denominador
é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar).
Passo 4
Calcular a estatística de teste passo a passo.
- Primeiro calcule
:
- Calcule o erro padrão da média:
- Calcule a diferença entre a média amostral e a hipotética:
- Agora a estatística
:
Passo 5
Determinar os graus de liberdade, o valor crítico e a regra de decisão (método do valor crítico).
- Graus de liberdade:
. - Para um teste bilateral com
, cada cauda tem . O valor crítico é . Pelo quadro da t de Student:
- Regra de decisão: rejeitar
se . Aqui e , logo rejeitamos pelo critério do valor crítico.
Passo 6
Cálculo aproximado do p-valor e interpretação por p-valor.
- O p-valor bilateral é
. Como e pela tabela da t sabemos que (que corresponde a p bilateral ), nosso é um pouco menor que , então o p-valor bilateral está um pouco acima de . Usando interpolação/valor aproximado:
- Interpretação:
. Portanto, pelo critério do p-valor também rejeitamos .
Passo 7
Interpretação prática do resultado e verificação por intervalo de confiança (ajuda a entender).
- Como fizemos o teste a
, o intervalo de confiança correspondente é o intervalo de para . Ele é dado por
- Substituindo valores: o termo de margem é
. Logo o IC é aproximadamente
- Observação: esse intervalo não contém
(o limite inferior é ), o que é coerente com a rejeição de : a média amostral sugere que a média real é maior que .
Resposta
Rejeita
. Estatística
,
,
. Conclusão: há evidência ao nível
de que a média difere de
.