O diâmetro de uma partícula de contaminação (em micrômetros) é modelado com a função de densidade de probabilidade mathrmf(x)=2 / x^3 para x>1. Determine o seguinte:
P(4<X<8)

Passo 1

O enunciado diz que o diâmetro X de uma partícula segue uma distribuição contínua em micrômetros com função densidade
f(x) = 2x^3, x>1
Queremos calcular a probabilidade
P(4 < X < 8)
Para variáveis contínuas, usamos a integral da densidade entre os limites.

Passo 2

Escrevemos a probabilidade como
P(4 < X < 8) = integral4^8 f(x),dx = integral4^8 2x^3,dx
Para resolver essa integral, precisamos encontrar uma antiderivada de 2x^-3.

Passo 3

Uma antiderivada de 2x^-3 é
integral 2x^-3,dx = 2 cdot x^-2-2 = -x^-2 = -1x^2
Chamemos essa função de F(x) = -1/x^2.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental do cálculo, temos
P(4 < X < 8) = F(8) - F(4) = l(-18^2r) - l(-14^2r) = -164 + 116 = 116 - 164 = 4 - 164 = 364

Resposta

P(4 < X < 8) = 364

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