O diâmetro das porcas fabricadas por uma companhia é uma v.a. X com distribuição normal de média 11 mm e desvio padrão 0,5 mm. Os limites de tolerância para esse tipo de porca são de 10 e 12 mm .
a) Qual a probabilidade desta companhia fabricar uma porca dentro dos limites de tolerância?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem porcas com diâmetro que segue uma distribuição normal, ou seja, uma distribuição em forma de sino, com média de 11 mm e desvio padrão de 0,5 mm. Os limites de tolerância para essas porcas são de 10 mm a 12 mm. A pergunta é: qual a probabilidade de uma porca fabricada estar dentro desses limites de tolerância?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal, média, desvio padrão e probabilidade. Vamos calcular a chance de uma porca ter diâmetro entre 10 mm e 12 mm.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na distribuição normal, a média ( mu) é o valor central e o desvio padrão ( sigma) indica o quanto os valores se dispersam em torno da média. Aqui, mu = 11 mm e sigma = 0,5 mm.
Queremos encontrar P(10 <= X <= 12), ou seja, a probabilidade de X (o diâmetro da porca) estar entre 10 mm e 12 mm.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, vamos converter os valores de 10 mm e 12 mm em escores z, que nos dizem quantos desvios padrão um valor está distante da média. A fórmula para calcular o z é:
z = X - musigma
Vamos calcular o z para 10 mm e para 12 mm.

Passo 4

Calculando o z para 10 mm:
z1 = 10 - 110,5 = -10,5 = -2
E para 12 mm:
z2 = 12 - 110,5 = 10,5 = 2

Passo 5

Agora, queremos encontrar P(-2 <= Z <= 2). Isso significa a probabilidade de o escore z estar entre -2 e 2. Usamos uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar essas probabilidades.
Sabemos que:
P(Z <= 2) approx 0,9772
P(Z <= -2) approx 0,0228

Passo 6

A probabilidade de Z estar entre -2 e 2 é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(-2 <= Z <= 2) = P(Z <= 2) - P(Z <= -2) = 0,9772 - 0,0228 = 0,9544

Resposta

A probabilidade de fabricar uma porca dentro dos limites de tolerância é de aproximadamente 95,44%.

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