O diâmetro X de um cabo elétrico do laboratório de pesquisa, é uma variável aleatória contínua, com função de densidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{c} K\left(2 x-x^{2}\right) \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0 \text { se } x<0 \text { ou } x>1 \end{array}\right.
Calcule o valor da constante K e a Esperança.

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória contínua X\) com densidade \[f(x)=\begin{cases} K\bigl(2x - x^2\bigr),&0\le x\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede dois cálculos:
  1. Determinar a constante de normalização K\] usando a condição \[\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = 1.\] 2. Calcular a esperança \(\mathbb{E}[X] pela definição
\mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.

Passo 2

Para achar K, impomos a normalização em [0,1]:
\int_{0}^{1} K\bigl(2x - x^2\bigr)\,dx = 1.
Calculando a integral:
\int_{0}^{1}(2x - x^2)\,dx = \Bigl[x^2 - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.
Logo,
K\cdot \tfrac{2}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad K = \tfrac{3}{2}.

Passo 3

Com K=\tfrac{3}{2}, vamos à esperança:
\mathbb{E}[X] = \int_{0}^{1} x\;K\bigl(2x - x^2\bigr)\,dx = \tfrac{3}{2}\int_{0}^{1} (2x^2 - x^3)\,dx.
Calculando a integral interna:
\int_{0}^{1}(2x^2 - x^3)\,dx = \Bigl[\tfrac{2x^3}{3} - \tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{8-3}{12} = \tfrac{5}{12}.
Portanto,
\mathbb{E}[X] = \tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{5}{12} = \tfrac{15}{24} = \tfrac{5}{8}.

Resposta

K = \tfrac{3}{2}
\mathbb{E}[X] = \tfrac{5}{8}

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