Um investidor está analisando os projetos, mutuamente exclusivos, representados pelos fluxos de caixa indicados a seguir:
Ano Projeto A Projeto B
\mathbf{0} -12000 -10000
\mathbf{1} 3000 7000
\mathbf{2} 4000 5000
\mathbf{3} 7000 4000
\mathbf{4} 10000 3500
\mathbf{5} 20000 3000
a) Utilizando os métodos VPL e TIR preferencialmente, e outros métodos caso necessário, determinar qual projeto seria escolhido e porque considerando TMA de 12% e 44% a.a.? Caso seja possível calcular, qual a taxa de desconto no ponto de Fischer dos projetos A e B, explicar.
b) Calcular o payback do melhor projeto com TMA \mathbf{1 0 \%} a.a.
TD/Projeto A B A-B
\mathbf{0} R \ 32.000,00 & R$12.500,00 & R$ 19.500,00$
\mathbf{1 0 \%} R \ 18.540,82 & R$7.754,44 & R$ 10.786,38$
\mathbf{2 0 \%} R \ 10.188,79 & R$4.513,89 & R$ 5.674,90$
\mathbf{3 0 \%} R \ 4.748,58 & R$2.197,29 & R$ 2.551,28$
\mathbf{4 0 \%} R \ 1.056,46 & R$477,63 & R$ 578,84$
\mathbf{5 0 \%} -R \ 1.539,09 & -R$839,51 & -R$ 699,59$
\mathbf{6 0 \%} -R \ 3.420,29 & - R$1.875,15$

Passo 1

O enunciado apresenta dois projetos mutuamente exclusivos com fluxos de caixa:
Ano 0: A:-12000, B:-10000
Ano 1: A:3000, B:7000
Ano 2: A:4000, B:5000
Ano 3: A:7000, B:4000
Ano 4: A:10000, B:3500
Ano 5: A:20000, B:3000
Precisa-se decidir qual projeto escolher usando VPL (NPV) e TIR (IRR) para taxas de desconto de 12 % e 44 % ao ano, determinar a taxa de Fisher (taxa de crossover) e, depois, calcular o payback do projeto escolhido considerando TMA de 10 % a.a.

Passo 2

Critérios de decisão:
1. VPL: para cada taxa r, calculamos
\text{VPL} = \sum_{t=0}^{5} \frac{CF_t}{(1+r)^t}.
O projeto com VPL maior é preferido.
2. TIR: é a taxa r que zera o VPL. Se TIR >\;\text{TMA}, o projeto é atraente isoladamente. Em projetos mutuamente exclusivos escolhe-se aquele de maior VPL.

Passo 3

Cálculo dos VPLs a r=12\%:
Para A:
\text{VPL}_A = -12000 + \frac{3000}{1{,}12} + \frac{4000}{1{,}12^2} + \frac{7000}{1{,}12^3} + \frac{10000}{1{,}12^4} + \frac{20000}{1{,}12^5} \approx 759{,}84.
Para B:
\text{VPL}_B = -10000 + \frac{7000}{1{,}12} + \frac{5000}{1{,}12^2} + \frac{4000}{1{,}12^3} + \frac{3500}{1{,}12^4} + \frac{3000}{1{,}12^5} \approx 189{,}57.

Passo 4

Como \text{VPL}_A\approx759{,}84 > \text{VPL}_B\approx189{,}57, o projeto A é preferível a 12\% pela regra do VPL. A TIR de A também excede 12\% e a de B excede 12\%, mas a comparação definitiva em mutuamente exclusivos é pelo VPL.

Passo 5

Cálculo dos VPLs a r=44\%:
Para A:
\text{VPL}_A = -12000 + \sum_{t=1}^{5}\frac{CF_{A,t}}{1{,}44^t}\approx 206{,}46.
Para B:
\text{VPL}_B = -10000 + \sum_{t=1}^{5}\frac{CF_{B,t}}{1{,}44^t}\approx -371{,}61.

Passo 6

Como \text{VPL}_A\approx206{,}46 > \text{VPL}_B\approx -371{,}61, o projeto A mantém a preferência a 44\%.

Passo 7

Taxa de Fisher (crossover) é a r que zera a diferença de VPLs, isto é \text{VPL}_{A-B}(r)=0. Definindo CF_{A-B,t}=CF_{A,t}-CF_{B,t} e usando interpolação nos valores de \text{VPL}_{A-B} em várias taxas (conforme tabela), encontramos que o sinal muda entre 40\% (positivo) e 50\% (negativo). Interpolando:
r^* \approx 40\% + \frac{0{,}578}{0{,}578+0{,}700}\times10\%\approx44{,}5\%.

Passo 8

Como A é o melhor projeto, calculamos o payback descontado a 10 % para A. Os fluxos descontados e acumulados são:
\text{DCF}_1=3000/1{,}1=2727{,}27,
\text{DCF}_2=4000/1{,}1^2=3305{,}79,
\text{DCF}_3=7000/1{,}1^3=5259{,}07,
\text{DCF}_4=10000/1{,}1^4=6830{,}13, …
Acumulado após t =3: -12000+2727{,}27+3305{,}79+5259{,}07=-707{,}87. Após t =4: fica positivo. A fração de ano em t =4 é
\frac{707{,}87}{6830{,}13}\approx0{,}104,
logo payback descontado \approx 3,10 anos.

Resposta

a) Para TMA de 12 % e de 44 %, o projeto A é preferido por apresentar VPL maior que B em ambas as taxas. A taxa de Fisher (crossover) é aproximadamente 44,5 %.
b) O payback descontado do projeto A a 10 % a.a. é cerca de 3,10 anos.

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