O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
f(x)=c k(2 x-x^2), se 0 <= x <= 1 0, se x<0 ou x>1
Calcule P(0 <= X <= 3 / 4 mid X>1 / 4);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade envolvendo uma variável aleatória contínua, que no caso é o diâmetro $ X $ de um cabo elétrico. A função densidade de $ X $ está definida por:
X
O que a gente precisa calcular é a probabilidade de $ X $ estar entre $ 0 $ e $ \frac{3}{4} $, dado que $ X $ é maior que $ \frac{1}{4} $. Ou seja, X .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função densidade de probabilidade, como normalizar essa função (achar o valor de $ k $) e usar a fórmula de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o valor de $ k $. A função densidade de probabilidade precisa integrar para 1 em todo o seu domínio. Então, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 e igualar a 1:
k

Passo 3

Vamos resolver a integral:
k integral0^1 (2x - x^2) dx = k [ x^2 - x^33 ]0^1 = k (1 - 13) = k cdot 23
Então:
k cdot 23 = 1 implies k = 32

Passo 4

Agora que temos $ k = \frac{3}{2} $, a função densidade fica:
k = 32

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade condicional P(0 <= X <= 34 mid X > 14). A fórmula da probabilidade condicional é:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso, $ A $ é $ 0 \leq X \leq \frac{3}{4} $ e $ B $ é $ X > \frac{1}{4} $. Então:
A

Passo 6

Vamos calcular P(14 < X <= 34):
P(14 < X <= 34) = integral14^34 32(2x - x^2) dx

Passo 7

Primeiro, vamos integrar $ 2x - x^{2} $:
2x - x^2
Então:
integral (2x - x^2) dx = x^2 - x^33

Passo 8

Calculando os valores:
Para $ x = \frac{3}{4} $:
x = 34
Para $ x = \frac{1}{4} $:
(34)^2 = 916, (34)^3 = 2764
Substituindo:
x = 14
Simplificando:
(14)^2 = 116, (14)^3 = 164

Passo 9

Agora, calculamos P(X > 14):
P(X > 14) = 1 - P(X <= 14) = 1 - integral0^14 32(2x - x^2) dx
Fazendo a integração similar ao passo 6, chegamos a:
1 - 32 [ (14)^2 - (14)^33 ] = 1 - 32 cdot 116 = 1 - 332 = 2932

Passo 10

Finalmente, substituímos na fórmula da probabilidade condicional:
P(0 <= X <= 34 mid X > 14) = 81962932 = 8196 times 3229 = 81 times 3296 times 29 = 25922784 = 912 = 34

Resposta

A probabilidade é de 34.

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