O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
Calcule
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade envolvendo uma variável aleatória contínua, que no caso é o diâmetro $ X $ de um cabo elétrico. A função densidade de $ X $ está definida por:
O que a gente precisa calcular é a probabilidade de $ X $ estar entre $ 0 $ e $ \frac{3}{4} $, dado que $ X $ é maior que $ \frac{1}{4} $. Ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função densidade de probabilidade, como normalizar essa função (achar o valor de $ k $) e usar a fórmula de probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o valor de $ k $. A função densidade de probabilidade precisa integrar para 1 em todo o seu domínio. Então, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 e igualar a 1:
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Então:
Passo 4
Agora que temos $ k = \frac{3}{2} $, a função densidade fica:
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade condicional
. A fórmula da probabilidade condicional é:
No nosso caso, $ A $ é $ 0 \leq X \leq \frac{3}{4} $ e $ B $ é $ X > \frac{1}{4} $. Então:
Passo 6
Vamos calcular
:
Passo 7
Primeiro, vamos integrar $ 2x - x^{2} $:
Então:
Passo 8
Calculando os valores:
Para $ x = \frac{3}{4} $:
Para $ x = \frac{1}{4} $:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 9
Agora, calculamos
:
Fazendo a integração similar ao passo 6, chegamos a:
Passo 10
Finalmente, substituímos na fórmula da probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade é de
.