Seja X uma variável aleatória cuja função densidade é dada por:
f(x)=lc c(1+x), & se 0
Obtenha o valor da constante c;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ definida em dois intervalos diferentes e precisa encontrar o valor da constante $ c $. Para isso, vamos usar o conceito de que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma função densidade de probabilidade tem que satisfazer duas condições:
  1. $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
  2. A integral de $ f(x) $ de f(x) >= 0 a x é igual a 1.
Como nossa função $ f(x) $ é zero fora dos intervalos $ 0 < x \leq 1 $ e $ 1 < x \leq 2 $, só precisamos calcular a integral nesses intervalos.

Passo 3

Vamos escrever a equação que representa a soma das integrais dos dois trechos da função igual a 1:
integral0^1 c(1 + x) , dx + integral1^2 23 , dx = 1

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^1 c(1 + x) , dx = c integral0^1 (1 + x) , dx
Integrando termo a termo:
c [ x + x^22 ]0^1 = c (1 + 12) = c cdot 32

Passo 5

Agora, calculamos a segunda integral:
integral1^2 23 , dx = 23 cdot (2 - 1) = 23 cdot 1 = 23

Passo 6

Somando as duas integrais e igualando a 1:
32c + 23 = 1
Vamos resolver para $ c $:
c
32c = 1 - 23 = 13

Resposta

O valor da constante $ c $ é $ \frac{2}{9} $.

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