Seja
uma variável aleatória cuja função densidade é dada por:
Obtenha o valor da constante c;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ definida em dois intervalos diferentes e precisa encontrar o valor da constante $ c $. Para isso, vamos usar o conceito de que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma função densidade de probabilidade tem que satisfazer duas condições:
- $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
- A integral de $ f(x) $ de
af(x) >= 0 é igual a 1.x
Como nossa função $ f(x) $ é zero fora dos intervalos $ 0 < x \leq 1 $ e $ 1 < x \leq 2 $, só precisamos calcular a integral nesses intervalos.
Passo 3
Vamos escrever a equação que representa a soma das integrais dos dois trechos da função igual a 1:
Passo 4
Vamos calcular a primeira integral:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda integral:
Passo 6
Somando as duas integrais e igualando a 1:
Vamos resolver para $ c $:
Resposta
O valor da constante $ c $ é $ \frac{2}{9} $.