Seja uma variável aleatória cuja função densidade é dada por:
Obtenha:
a) o valor da constante c;
b) P(0,5 <= X <= 1,5);
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ que tem uma função densidade de probabilidade ($ f(x) $) definida em dois intervalos: de 0 a 1 e de 1 a 2. A nossa missão aqui é:
a) Encontrar o valor da constante $ c $ que garante que a área total sob a curva da função densidade seja 1 (já que a soma das probabilidades deve ser 1).
b) Calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 0,5 e 1,5.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das funções densidade de probabilidade.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): encontrar o valor da constante $ c $.
Para uma função densidade de probabilidade válida, a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
c
No nosso caso, $ f(x) $ é não zero apenas entre 0 e 2, então podemos simplificar a integral:
integral0^1 c(1 + x) , dx = c integral0^1 (1 + x) , dx = c [ x + x^22 ]0^1 = c (1 + 12) = 3c2
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{3} $:
integral1^2 23 , dx = 23 times (2 - 1) = 23 times 1 = 23
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 0,5 e 1,5, ou seja, $ P(0,5 \leq X \leq 1,5) $.
Para isso, devemos integrar a função densidade $ f(x) $ de 0,5 a 1,5. Contudo, como a função muda de expressão no ponto $ x = 1 $, precisamos dividir a integral nesse ponto: