Seja X uma variável aleatória cuja função densidade é dada por:
f(x)=lc c(1+x), & se 0
Obtenha:
a) o valor da constante c;
b) P(0,5 <= X <= 1,5);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ que tem uma função densidade de probabilidade ($ f(x) $) definida em dois intervalos: de 0 a 1 e de 1 a 2. A nossa missão aqui é:
a) Encontrar o valor da constante $ c $ que garante que a área total sob a curva da função densidade seja 1 (já que a soma das probabilidades deve ser 1).
b) Calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 0,5 e 1,5.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades das funções densidade de probabilidade.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): encontrar o valor da constante $ c $.
Para uma função densidade de probabilidade válida, a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
c
No nosso caso, $ f(x) $ é não zero apenas entre 0 e 2, então podemos simplificar a integral:
f(x)
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de 0 a 1:
integral-infty^infty f(x) , dx = 1
Agora, a integral de 1 a 2:
f(x)
Somando as duas partes:
integral0^1 c(1 + x) , dx + integral1^2 23 , dx = 1
Agora, vamos resolver para $ c $:
integral0^1 c(1 + x) , dx = c integral0^1 (1 + x) , dx = c [ x + x^22 ]0^1 = c (1 + 12) = 3c2
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{3} $:
integral1^2 23 , dx = 23 times (2 - 1) = 23 times 1 = 23

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 0,5 e 1,5, ou seja, $ P(0,5 \leq X \leq 1,5) $.
Para isso, devemos integrar a função densidade $ f(x) $ de 0,5 a 1,5. Contudo, como a função muda de expressão no ponto $ x = 1 $, precisamos dividir a integral nesse ponto:
X
Já sabemos que $ c = \frac{2}{9} $.
Vamos calcular cada integral:
Primeira parte (de 0,5 a 1):
P(0,5 <= X <= 1,5)
Calculando nos limites:
f(x)
Segunda parte (de 1 a 1,5):
x = 1
Somando as duas partes:
P(0,5 <= X <= 1,5) = integral0,5^1 c(1 + x) , dx + integral1^1,5 23 , dx

Resposta

a) O valor da constante $ c $ é $ \frac{2}{9} $.
b) A probabilidade $ P(0,5 \leq X \leq 1,5) $ é $ \frac{19}{36} $ ou aproximadamente 0,5278.

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