Seja a seguinte função de distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta:
F(x)= 0, & se x<0 0,1 & se 0 <= x<1 0,3, & se 1 <= x<2 0,6, & se 2 <= x<3 1, & se x >= 3
Construir o gráfico de F(x) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico da função de distribuição acumulada (CDF) $ F(x) $ de uma variável aleatória discreta. A matéria envolvida aqui é sobre Distribuições de Probabilidade, especificamente sobre como representar graficamente uma função de distribuição acumulada para variáveis aleatórias discretas. Para resolver, vamos precisar entender como a CDF funciona e como ela se relaciona com as probabilidades dos diferentes valores que a variável pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada $ F(x) $. Ela nos dá a probabilidade de a variável aleatória $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $, ou seja, $ F(x) = P(X \leq x) $. Como estamos lidando com uma variável discreta, a CDF será uma função escalonada, com saltos nas probabilidades dos valores que $ X $ pode assumir.

Passo 3

Vamos analisar a função $ F(x) $ dada no enunciado:
F(x)
Isso significa que:
  • Para $ x < 0 $, $ F(x) = 0 $: a probabilidade acumulada é 0.
  • De $ 0 $ a $ 1 $ (não incluindo 1), $ F(x) = 0,1 $: a probabilidade acumulada até 1 é 10%.
  • De $ 1 $ a $ 2 $ (não incluindo 2), $ F(x) = 0,3 $: a probabilidade acumulada até 2 é 30%.
  • De $ 2 $ a $ 3 $ (não incluindo 3), $ F(x) = 0,6 $: a probabilidade acumulada até 3 é 60%.
  • Para $ x \geq 3 $, $ F(x) = 1 $: a probabilidade acumulada total é 100%.

Passo 4

Agora, vamos plotar o gráfico passo a passo:
  1. Antes de 0: Para todos os $ x < 0 $, $ F(x) = 0 $. Então, começamos com uma linha horizontal no nível 0.
  2. Entre 0 e 1: No ponto $ x = 0 $, a função salta para 0,1 e mantém esse valor até antes de $ x = 1 $. Então, desenhamos uma linha horizontal de 0 a 1 no nível 0,1.
  3. Entre 1 e 2: No ponto $ x = 1 $, a função salta para 0,3 e mantém até antes de $ x = 2 $. Linha horizontal de 1 a 2 no nível 0,3.
  4. Entre 2 e 3: No ponto $ x = 2 $, a função salta para 0,6 e mantém até antes de $ x = 3 $. Linha horizontal de 2 a 3 no nível 0,6.
  5. Após 3: No ponto $ x = 3 $, a função salta para 1 e mantém a partir daí. Linha horizontal a partir de 3 no nível 1.
Entre cada salto, a função é constante, e nos pontos de salto, a função sobe abruptamente para o próximo valor.

Resposta

O gráfico da função de distribuição acumulada $ F(x) $ é uma escada que começa em 0 para $ x < 0 $, salta para 0,1 em $ x = 0 $, para 0,3 em $ x = 1 $, para 0,6 em $ x = 2 $ e finalmente para 1 em $ x = 3 $. Cada segmento horizontal representa a probabilidade acumulada até aquele ponto, formando uma função escalonada característica de variáveis aleatórias discretas.

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