O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
Determine o valor de k;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar o valor de $ k $ na função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua, que representa o diâmetro $ X $ de um cabo elétrico. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de funções densidade de probabilidade e integrais. Precisamos garantir que a área total sob a curva dessa função seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para qualquer função densidade de probabilidade $ f(x) $, a integral de $ f(x) $ sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Isso significa que:
No nosso caso, a função $ f(x) $ é diferente de zero apenas no intervalo de 0 a 1. Então, podemos simplificar a integral para esse intervalo:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
. Primeiro, vamos tirar o $ k $ de fora da integral, já que ele é uma constante:
Passo 4
Vamos calcular a integral dentro da expressão:
Calculando cada parte:
Então, a integral completa fica:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Passo 6
Voltando à nossa equação original:
Para encontrar $ k $, isolamos ele:
Resposta
O valor de $ k $ é $ \frac{3}{2} $.