O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
f(x)=c k(2 x-x^2), se 0 <= x <= 1 0, se x<0 ou x>1
Determine o valor de k;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar o valor de $ k $ na função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua, que representa o diâmetro $ X $ de um cabo elétrico. A função é dada por:
k
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de funções densidade de probabilidade e integrais. Precisamos garantir que a área total sob a curva dessa função seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para qualquer função densidade de probabilidade $ f(x) $, a integral de $ f(x) $ sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Isso significa que:
f(x)
No nosso caso, a função $ f(x) $ é diferente de zero apenas no intervalo de 0 a 1. Então, podemos simplificar a integral para esse intervalo:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral0^1 k(2x - x^2) , dx. Primeiro, vamos tirar o $ k $ de fora da integral, já que ele é uma constante:
k

Passo 4

Vamos calcular a integral dentro da expressão:
integral (2x - x^2) , dx = integral 2x , dx - integral x^2 , dx
Calculando cada parte:
  • integral 2x , dx = x^2 + C
  • integral x^2 , dx = x^33 + C
Então, a integral completa fica:
x^2 - x^33 gr|0^1

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
(1^2 - 1^33) - (0^2 - 0^33) = (1 - 13) - 0 = 23

Passo 6

Voltando à nossa equação original:
k cdot 23 = 1
Para encontrar $ k $, isolamos ele:
k

Resposta

O valor de $ k $ é $ \frac{3}{2} $.

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