1. f(x)=1-x^2(1+x^2)^2 ( Dica: f(x)=dd x(x1+x^2))

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (ou antiderivada) de
f(x)=1 - x^2(1 + x^2)^2
e nos dá a dica de que
f(x) = ddxl(x1+x^2r)

Passo 2

Usando a dica, escrevemos em forma de derivada:
ddxl(x1+x^2r) = (1+x^2) - xcdot 2x(1+x^2)^2 = 1 - x^2(1 + x^2)^2 = f(x)

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo, se f(x) é a derivada de x1+x^2, então
integral f(x),dx = x1+x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Validação: derivando a resposta
ddxl(x1+x^2r) = 1 - x^2(1 + x^2)^2
recuperamos exatamente f(x), confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

x1+x^2 + C

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