Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. No nosso caso, precisamos encontrar a derivada de .
Passo 3
A derivada de é . Então, . Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é .
Passo 4
Agora, queremos a inclinação no ponto . Vamos substituir esse valor na derivada:
Sabemos que cos(pi2) = 0 , então a inclinação da reta tangente nesse ponto é 0.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente ( m = 0 ) e passando pelo ponto (pi2, 1) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo os valores:
y - 1 = 0 (x - pi2)
Passo 6
Simplificando a equação:
y - 1 = 0 implies y = 1
Então, a equação da reta tangente é y = 1 .
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de y = sin x no ponto (pi2, 1) é y = 1 .