Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=sen x no ponto (pi2, 1). Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função y = sin x no ponto (pi2, 1) . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. No nosso caso, precisamos encontrar a derivada de y = sin x .

Passo 3

A derivada de sin x é cos x . Então, dydx = cos x . Isso significa que a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x é cos x .

Passo 4

Agora, queremos a inclinação no ponto x = pi2 . Vamos substituir esse valor na derivada:
dydxg|x = pi2 = cos(pi2)
Sabemos que cos(pi2) = 0 , então a inclinação da reta tangente nesse ponto é 0.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente ( m = 0 ) e passando pelo ponto (pi2, 1) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo os valores:
y - 1 = 0 (x - pi2)

Passo 6

Simplificando a equação:
y - 1 = 0 implies y = 1
Então, a equação da reta tangente é y = 1 .

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de y = sin x no ponto (pi2, 1) é y = 1 .

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