Dê exemplo de funções f e g tais que lim x p^+ f(x)=L, L neq 0, lim x p^+ g(x)=0, mas lim x p^+ f(x)g(x) não existe.
6. Dê exemplo de funções f e g tais que lim x +infty f(x)=+infty, lim x +infty g(x)=+infty e lim x +infty[f(x)-g(x)] neq 0.

Passo 1

Resumindo, queremos
(i) funções f e g tais que
limxto p^+f(x)=Lneq 0,
limxto p^+g(x)=0
mas limxto p^+f(x)g(x) não existe;
(ii) funções f e g tais que
limxto +inftyf(x)=+infty,
limxto +inftyg(x)=+infty
e limxto +infty[f(x)-g(x)]neq 0.

Passo 2

Para o primeiro caso usamos um denominador que tende a zero oscilando de sinal. Definimos
f(x) = L, g(x) = (x-p),sin!l(1x-pr)
Como sin(1/(x-p)) é limitado e (x-p)to 0 quando xto p^+, segue
limxto p^+f(x)=L e limxto p^+g(x)=0.

Passo 3

A razão é
f(x)g(x) = L(x-p),sinl(1x-pr)
Como (x-p)sin(1/(x-p)) aproxima-se de zero trocando de sinal e frequência, a fração oscila entre +infty e -infty. Logo
limxto p^+f(x)g(x) não existe.

Passo 4

Para o segundo caso queremos duas funções que cresçam para +infty mas cuja diferença oscile. Tomamos
f(x)=x+sin x, g(x)=x
É imediato que limxto +inftyf(x)=+infty e limxto +inftyg(x)=+infty.

Passo 5

A diferença é
f(x)-g(x)=sin x,
que oscila entre -1 e 1 sem convergir para um único valor. Portanto
limxto +infty[f(x)-g(x)] não existe.

Resposta

Para xto p^+:
f(x)=L, g(x)=(x-p),sin!l(1x-pr)
Para xto+infty:
f(x)=x+sin x, g(x)=x

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