A distância de um ponto M, interior a um diedro, às suas faces é de 5 cm . Encontre a distância do ponto M a aresta do diedro se 0 angulo formado pelas perpendiculares as faces é de 120^circ.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um ponto M dentro de um diedro formado por duas faces que se cruzam numa aresta. As distâncias de M a cada face são iguais a 5
cm e o ângulo formado pelas perpendiculares a essas faces (isto é, o ângulo diedro φ) é de 120°. Queremos achar a distância de M até a aresta do diedro.
Para resolver, escolhemos um plano qualquer perpendicular à aresta do diedro que passe por M. Nesse plano, as duas faces do diedro aparecem como duas retas l₁ e l₂ que se cruzam num ponto C (projeção da aresta) com ângulo φ=120°.
A projeção de M nesse plano é um ponto M′ cuja distância a l₁ corresponde à distância de M à primeira face (5
cm) e cuja distância a l₂ corresponde à distância de M à segunda face (5
cm). Denotando r a distância CM′, e θ o ângulo que o vetor CM′ faz com l₁, temos as equações de distância a uma reta:
r,sintheta = 5, r,sin(varphi - theta)=5,onde φ=120°.
Como os dois termos à direita são iguais, obtemos
sintheta = sin(varphi - theta)
que leva a
theta = varphi2

Passo 2

Então a distância r é
r = 5sinl(varphi2r)

Passo 3

Como φ/2 = 60° e sin60°=raiz32, temos
r = 5raiz32 = 10raiz3 = 10raiz33

Resposta

A distância do ponto M à aresta do diedro é tfrac10raiz33 cm.

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