Prove que dois diedros opostos pela aresta são congruentes.
Passo 1
Temos dois planos
e
que se intersectam na reta
, e com isso surgem quatro diedros. Dois deles são ditos opostos quando cada semiplano que define um se opõe àquele que define o outro. Vamos mostrar que esses diedros opostos têm a mesma medida, ou seja, são congruentes.
Passo 2
Escolhemos um ponto
em
e, em seguida, construímos vetores normais a
e a
em
. Sejam esses vetores
e
apontando para o interior do primeiro diedro. Pela definição de ângulo diedro, sua medida
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Para o diedro oposto, os semiplanos se invertem, então basta trocar os vetores normais pelos seus opostos: em vez de
usamos
e em vez de
usamos
. Esse par de vetores define exatamente o diedro oposto.
Passo 4
Aplicamos a propriedade de que o ângulo entre dois vetores independe de trocarmos ambos por seus opostos. Em termos de produto escalar, temos
Passo 5
Como o cosseno dos dois ângulos é o mesmo, concluímos que
ou seja, os diedros opostos têm a mesma medida. Portanto, eles são congruentes.
Resposta
Dois diedros opostos pela aresta são congruentes porque, ao invertermos os vetores normais que definem um diedro, o ângulo entre eles não se altera, garantindo que ambos tenham exatamente a mesma medida.