Prove que dois diedros opostos pela aresta são congruentes.

Passo 1

Temos dois planos alpha e beta que se intersectam na reta r, e com isso surgem quatro diedros. Dois deles são ditos opostos quando cada semiplano que define um se opõe àquele que define o outro. Vamos mostrar que esses diedros opostos têm a mesma medida, ou seja, são congruentes.

Passo 2

Escolhemos um ponto O em r e, em seguida, construímos vetores normais a alpha e a beta em O. Sejam esses vetores nalpha e nbeta apontando para o interior do primeiro diedro. Pela definição de ângulo diedro, sua medida phi é o ângulo entre nalpha e nbeta.

Passo 3

Para o diedro oposto, os semiplanos se invertem, então basta trocar os vetores normais pelos seus opostos: em vez de nalpha usamos -nalpha e em vez de nbeta usamos -nbeta. Esse par de vetores define exatamente o diedro oposto.

Passo 4

Aplicamos a propriedade de que o ângulo entre dois vetores independe de trocarmos ambos por seus opostos. Em termos de produto escalar, temos
cosang<=(-nalpha,-nbeta)=(-nalpha)cdot(-nbeta)|nalpha|,|nbeta|=nalphacdotnbeta|nalpha|,|nbeta|=cosang<=(nalpha,nbeta)

Passo 5

Como o cosseno dos dois ângulos é o mesmo, concluímos que
ang<=(-nalpha,-nbeta)=ang<=(nalpha,nbeta)=phi,
ou seja, os diedros opostos têm a mesma medida. Portanto, eles são congruentes.

Resposta

Dois diedros opostos pela aresta são congruentes porque, ao invertermos os vetores normais que definem um diedro, o ângulo entre eles não se altera, garantindo que ambos tenham exatamente a mesma medida.

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