4.9 Duas cargas Q_{1}=1,6 \times 10^{-9} \mathrm{C} e Q_{2}=-4,8 \times 10^{-9} \mathrm{C} ocupam dois dos vértices de um triângulo equilátero de lado t=10 \mathrm{~cm}, e uma terceíra carga Q ocupa o terceiro vértice do triângulo. Qual é o valor da carga Q se ela está em equilíbrio na direção perpendicular à reta que une as outras duas cargas? É possível que, para algum valor, a carga esteja em equilíbrio na direção paralela a essa reta?

Passo 1

O enunciado coloca duas cargas fixas \,Q_{1}=1,6\times10^{-9}\,\mathrm{C} e \,Q_{2}=-4,8\times10^{-9}\,\mathrm{C} nos extremos de um lado de um triângulo equilátero de lado t=0{,}10\,\mathrm{m}, e uma terceira carga Q no vértice oposto (apex). Queremos achar Q tal que a força resultante sobre ela se anule na direção perpendicular à reta que une Q_{1} e Q_{2}. Em seguida, verificar se existe algum valor (não trivial) de Q que anule também a componente paralela a essa reta. O conteúdo usado será decomposição vetorial das forças de Coulomb e condição de equilíbrio (força nula).

Passo 2

Escolhemos o eixo x ao longo da reta que une Q_{1} e Q_{2}, e o eixo y perpendicular a ela, apontando para o vértice onde está Q. Cada uma das forças de Coulomb sobre Q tem módulo
F_{i}=\frac{k\,\lvert Q\,Q_{i}\rvert}{t^{2}}\quad(i=1,2),
e atua ao longo das arestas do triângulo, que formam ângulo de 60^\circ com a horizontal.

Passo 3

Compondo no eixo y (perpendicular ao segmento Q_{1}Q_{2}), as duas forças têm mesmo sentido (para cima ou para baixo, dependendo do sinal de Q), e ângulo \theta=60^\circ com a horizontal. Logo a soma das componentes y é
F_{y} =F_{1}\,\sin60^\circ + F_{2}\,\sin60^\circ =\frac{k\,\lvert Q\rvert}{t^{2}}\,( \lvert Q_{1}\rvert + \lvert Q_{2}\rvert)\frac{\sqrt3}{2}
mas levando em conta os sinais de Q_1 e Q_2 dentro de F_i=k\,Q\,Q_i/t^2, temos
F_{y} =\frac{k\,Q}{t^{2}}\;\frac{\sqrt3}{2}\,(Q_{1}+Q_{2}).
Para equilíbrio em y, F_{y}=0. Como Q_{1}+Q_{2}=1,6\times10^{-9}-4,8\times10^{-9}=-3,2\times10^{-9}\neq0, concluímos Q=0.

Passo 4

Agora a componente x (paralela ao segmento Q_{1}Q_{2}): os dois vetores apontam em sentidos opostos, com ângulo 60^\circ à vertical, de modo que
F_{x} =F_{1}\cos60^\circ - F_{2}\cos60^\circ =\frac{k\,Q}{2\,t^{2}}\,(Q_{1}-Q_{2}).
Para anular F_{x} com Q\neq0 seria preciso Q_{1}-Q_{2}=0, mas Q_{1}\neq Q_{2}. Logo não há valor não trivial de Q que anule a componente paralela.

Resposta

Q=0.
Não existe carga Q\neq0 que produza equilíbrio na direção paralela ao segmento Q_{1}Q_{2}.

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