Qual a diferença entre a aceleração angular e a aceleração do centro de massa? Como elas se relacionam no caso de uma roda que rola sem deslizar?
Passo 1
O exercício pergunta qual a diferença entre aceleração angular e aceleração do centro de massa, e como elas se relacionam no caso de uma roda que rola sem deslizar. Estamos no tópico de cinemática de corpo rígido, mais precisamente rotação e movimento de translação simultâneos. Para resolver isso, vamos precisar:
- Entender a definição de aceleração angular (α) e de aceleração linear do CM (a_cm).
- Lembrar a condição de rolamento sem deslizamento, que liga velocidade angular a velocidade linear.
- Derivar a relação entre α e a_cm a partir dessa condição.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos ver o que cada coisa significa:
- Aceleração angular (α): é a taxa de variação da velocidade angular ω de um corpo rígido. Em fórmula,
Ela mede o “quanto rápido” a roda está mudando sua rotação. - Aceleração do centro de massa (a_cm): é a taxa de variação da velocidade linear do centro de massa da roda. Em fórmula,
Ela diz o “quanto rápido” o centro de massa da roda ganha (ou perde) velocidade no chão.
Essas duas grandezas são diferentes porque uma descreve variações no giro (angular) e outra no deslocamento do centro da roda (linear).
Passo 3
Agora, no caso de rolamento sem deslizamento, a roda “roda” e “anda” exatamente na proporção de seu raio R. A condição de não deslizamento é
Isso significa que a velocidade linear do CM está diretamente ligada à velocidade de rotação. Se derivarmos essa relação em relação ao tempo, obtemos:
Aqui usamos que R é constante, então sai da derivada.
Passo 4
Resumindo:
- Aceleração angular α mede como a rotação muda.
- Aceleração do CM a_cm mede como a velocidade do centro muda.
- Para rolamento sem deslizar a velocidade e a aceleração lineares do CM estão “presas” às rotações por
e .
Resposta
A diferença é que α diz respeito à variação da rotação (dω/dt) e
à variação da velocidade linear do centro de massa (dv_cm/dt). No rolamento sem deslizamento eles se relacionam por