Qual a diferença entre a aceleração angular e a aceleração do centro de massa? Como elas se relacionam no caso de uma roda que rola sem deslizar?

Passo 1

O exercício pergunta qual a diferença entre aceleração angular e aceleração do centro de massa, e como elas se relacionam no caso de uma roda que rola sem deslizar. Estamos no tópico de cinemática de corpo rígido, mais precisamente rotação e movimento de translação simultâneos. Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Entender a definição de aceleração angular (α) e de aceleração linear do CM (a_cm).
  2. Lembrar a condição de rolamento sem deslizamento, que liga velocidade angular a velocidade linear.
  3. Derivar a relação entre α e a_cm a partir dessa condição.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos ver o que cada coisa significa:
  • Aceleração angular (α): é a taxa de variação da velocidade angular ω de um corpo rígido. Em fórmula, alpha = domegadt , Ela mede o “quanto rápido” a roda está mudando sua rotação.
  • Aceleração do centro de massa (a_cm): é a taxa de variação da velocidade linear do centro de massa da roda. Em fórmula, arm cm = dvrm cmdt , Ela diz o “quanto rápido” o centro de massa da roda ganha (ou perde) velocidade no chão.
Essas duas grandezas são diferentes porque uma descreve variações no giro (angular) e outra no deslocamento do centro da roda (linear).

Passo 3

Agora, no caso de rolamento sem deslizamento, a roda “roda” e “anda” exatamente na proporção de seu raio R. A condição de não deslizamento é
vrm cm = omega ,R ,
Isso significa que a velocidade linear do CM está diretamente ligada à velocidade de rotação. Se derivarmos essa relação em relação ao tempo, obtemos:
d vrm cmdt ;=; ddt(omega,R) Longrightarrow arm cm = alpha ,R ,
Aqui usamos que R é constante, então sai da derivada.

Passo 4

Resumindo:
  • Aceleração angular α mede como a rotação muda.
  • Aceleração do CM a_cm mede como a velocidade do centro muda.
  • Para rolamento sem deslizar a velocidade e a aceleração lineares do CM estão “presas” às rotações por e .

Resposta

A diferença é que α diz respeito à variação da rotação (dω/dt) e arm cm = alpha,R, à variação da velocidade linear do centro de massa (dv_cm/dt). No rolamento sem deslizamento eles se relacionam por

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