Uma diferença de potencial de 300 V é aplicada à combinação em série de dois capacitores, de capacitâncias
e
. Determine (a) a carga
, (b) a diferença de potencial
, (c)
e (d)
. Os capacitores carregados são desligados um do outro e da bateria; em seguida, a ligação entre os capacitores é refeita, mas com as placas com cargas de mesmo sinal ligadas entre si (a bateria não é mais usada). Determine os novos valores de (e)
, (f)
, (g)
e (h)
. Suponha que os capacitores carregados no item (a) tenham sido ligados com cargas de sinais opostos ligadas entre si. Determine quais são, nesse caso, os valores de (i)
, (j)
, (k)
e (l)
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue foram dados do enunciado).
Dados:
- Uma diferença de potencial aplicada inicialmente:
. - Dois capacitores em série com capacitâncias:
-
O enunciado pede, passo a passo:
- (a)
após ligação em série com a bateria; - (b)
(diferença de potencial no capacitor ) após ligação em série com a bateria; - (c)
após ligação em série com a bateria; - (d)
(diferença de potencial no capacitor ) após ligação em série com a bateria.
Em seguida os capacitores são isolados (desligados da bateria e um do outro) — então religam-se os capacitores entre si com as placas de mesmo sinal conectadas — sem usar bateria. Para essa nova conexão pedir:
- (e) novo
; - (f) novo
; - (g) novo
; - (h) novo
.
Finalmente, considera-se que, desde o estado inicial do item (a), os capacitores foram ligados entre si com placas de sinais opostos conectadas. Pedir:
- (i)
final nesse caso; - (j)
final nesse caso; - (k)
final nesse caso; - (l)
final nesse caso.
Observações úteis (serão usadas nas soluções):
- Para um capacitor linear vale a relação fundamental
, onde: -
é a carga (em coulombs), -
é a capacitância (em farads), -
é a diferença de potencial entre as placas (em volts).
-
- Em capacitores conectados em série a carga em cada capacitor (em módulo) é a mesma.
- Ao reconectar capacitores isolados entre si, a carga total de cada nó conectado é conservada (não há bateria nem caminho externo para trocar carga com o ambiente).
Passo 2
Entender a situação inicial (capacitores em série ligados à bateria) e a propriedade chave.
Teoria curta e didática:
- Capacitores em série: quando dois capacitores estão em série e ligados a uma fonte de tensão
, a mesma carga aparece em magnitude em cada capacitor. Isso ocorre porque a corrente que carregou o conjunto teve que depositar a mesma quantidade de carga nas placas intermediárias (sair de uma e entrar na outra), de modo que as cargas em série ficam iguais. - A capacitância equivalente de dois capacitores em série é dada por:
- Uma vez obtida
, a carga comum é
- Depois, para cada capacitor individual usa-se
.
Aqui cada variável significa:
-
: capacitância equivalente do conjunto em série. -
: carga comum (módulo) nos capacitores em série. -
: queda de potencial no capacitor .
Passo 3
Calcular a capacitância equivalente
em série com os valores dados.
Aplicando a fórmula:
Substituindo
e
:
Calcule passo a passo (em
):
Inverso:
Passo 4
Calcular a carga comum
no modo série usando
.
Substituindo:
Lembrando que
, então:
Portanto, em módulo, ambos os capacitores têm carga
enquanto estiverem em série ligados à fonte.
Passo 5
Calcular as diferenças de potencial em cada capacitor no caso série (itens (a)–(d)).
Usando
.
Para
:
Para
:
Cheque de consistência:
, ok.
Portanto:
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
.
Passo 6
Agora a primeira mudança de configuração: os capacitores são desligados da bateria e um do outro, ficando isolados cada um com suas cargas (cada um com
numa placa e
na outra). Em seguida, reconecta-se os capacitores entre si ligando as placas com cargas de mesmo sinal (isto é, conecta-se positivo com positivo e negativo com negativo) — sem bateria.
Explicação física e estratégia:
- Como as placas de mesmo sinal são ligadas, os dois capacitores ficam em paralelo (duas placas ligadas formam um nó, e as outras duas formam o outro nó). Em paralelo, a capacitância equivalente é a soma:
- As cargas nas placas que se unem somam algebraicamente no nó, mas não há caminho para o exterior, então a carga total em cada nó é conservada.
- Para encontrar a nova tensão comum
entre as placas (após reconexão em paralelo), pode-se usar:
onde
é a carga total no nó positivo (soma das cargas positivas originais).
Passo 7
Calcular a nova tensão quando as placas de mesmo sinal são conectadas (itens (e)–(h)).
Primeiro, carga total no nó das placas positivas:
- Cada capacitor tinha uma placa positiva com
. - Ao ligar as duas placas positivas, a carga total do nó positivo é:
Analogamente, o nó negativo tem carga
. O sistema continua neutro no global (soma das cargas é zero).
Capacitância equivalente em paralelo:
Nova tensão comum
:
Cargas finais em cada capacitor (já que agora estão em paralelo, cada qual tem
):
Portanto, após reconectar placas de mesmo sinal:
- (e)
. - (f)
. - (g)
. - (h)
.
Observação intuitiva: a carga total positiva foi repartida entre
e
na proporção das capacitâncias, porque em paralelo a tensão é a mesma e cada
.
Passo 8
Agora o caso em que os capacitores carregados (do item (a)) foram ligados com cargas de sinais opostos conectadas entre si.
Interpretação e raciocínio:
- Originalmente cada capacitor tem uma placa
e a outra . - Se conectarmos a placa positiva de um capacitor à placa negativa do outro (e, implicitamente, a outra pair de placas também conectadas entre si), então em cada nó somamos cargas de sinais opostos.
- A carga total do nó resultante será
. - O outro nó também terá soma zero.
- Assim, não sobra carga em nenhum nó: as cargas se cancelam totalmente. Como não existe bateria nem fonte externa, a carga não desaparece por mágica, ela se neutraliza entre as placas conectadas e energia é dissipada (por centelhamento ou resistência do fio) — mas o estado final elétrico dos capacitores é sem tensão.
Portanto:
- A tensão final entre nós é
. - Assim os capacitores ficam descarregados, com
.
Passo 9
Resumo final e resultado numérico consolidado (respostas finais para cada item).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)