Uma diferença de potencial de 300 V é aplicada à combinação em série de dois capacitores, de capacitâncias C_{1}=2,00 \mu \mathrm{~F} e C_{2}=8,00 \mu \mathrm{~F}. Determine (a) a carga q_{1}, (b) a diferença de potencial V_{1}, (c) q_{2} e (d) V_{2}. Os capacitores carregados são desligados um do outro e da bateria; em seguida, a ligação entre os capacitores é refeita, mas com as placas com cargas de mesmo sinal ligadas entre si (a bateria não é mais usada). Determine os novos valores de (e) q_{1}, (f) V_{1}, (g) q_{2} e (h) V_{2}. Suponha que os capacitores carregados no item (a) tenham sido ligados com cargas de sinais opostos ligadas entre si. Determine quais são, nesse caso, os valores de (i) q_{1}, (j) V_{1}, (k) q_{2} e (l) V_{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue foram dados do enunciado).
Dados:
  • Uma diferença de potencial aplicada inicialmente: \,V_{\text{total}}=300\\ \mathrm{V}\,.
  • Dois capacitores em série com capacitâncias:
    • \,C_{1}=2{,}00\\ \mu\mathrm{F}\,
    • \,C_{2}=8{,}00\\ \mu\mathrm{F}\,
O enunciado pede, passo a passo:
  • (a) \,q_{1}\, após ligação em série com a bateria;
  • (b) \,V_{1}\, (diferença de potencial no capacitor C_{1}) após ligação em série com a bateria;
  • (c) \,q_{2}\, após ligação em série com a bateria;
  • (d) \,V_{2}\, (diferença de potencial no capacitor C_{2}) após ligação em série com a bateria.
Em seguida os capacitores são isolados (desligados da bateria e um do outro) — então reli­gam-se os capacitores entre si com as placas de mesmo sinal conectadas — sem usar bateria. Para essa nova conexão pedir:
  • (e) novo \,q_{1}\,;
  • (f) novo \,V_{1}\,;
  • (g) novo \,q_{2}\,;
  • (h) novo \,V_{2}\,.
Finalmente, considera-se que, desde o estado inicial do item (a), os capacitores foram ligados entre si com placas de sinais opostos conectadas. Pedir:
  • (i) \,q_{1}\, final nesse caso;
  • (j) \,V_{1}\, final nesse caso;
  • (k) \,q_{2}\, final nesse caso;
  • (l) \,V_{2}\, final nesse caso.
Observações úteis (serão usadas nas soluções):
  • Para um capacitor linear vale a relação fundamental \,q=C\,V\,, onde:
    • \,q\, é a carga (em coulombs),
    • \,C\, é a capacitância (em farads),
    • \,V\, é a diferença de potencial entre as placas (em volts).
  • Em capacitores conectados em série a carga em cada capacitor (em módulo) é a mesma.
  • Ao reconectar capacitores isolados entre si, a carga total de cada nó conectado é conservada (não há bateria nem caminho externo para trocar carga com o ambiente).

Passo 2

Entender a situação inicial (capacitores em série ligados à bateria) e a propriedade chave.
Teoria curta e didática:
  • Capacitores em série: quando dois capacitores estão em série e ligados a uma fonte de tensão \,V_{\text{total}}\,, a mesma carga \,q\, aparece em magnitude em cada capacitor. Isso ocorre porque a corrente que carregou o conjunto teve que depositar a mesma quantidade de carga nas placas intermediárias (sair de uma e entrar na outra), de modo que as cargas em série ficam iguais.
  • A capacitância equivalente de dois capacitores em série é dada por:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}.
  • Uma vez obtida \,C_{\text{eq}}\,, a carga comum é
q=C_{\text{eq}}\,V_{\text{total}}.
  • Depois, para cada capacitor individual usa-se \,V_{i}=q/C_{i}\,.
Aqui cada variável significa:
  • \,C_{\text{eq}}\,: capacitância equivalente do conjunto em série.
  • \,q\,: carga comum (módulo) nos capacitores em série.
  • \,V_{i}\,: queda de potencial no capacitor i.

Passo 3

Calcular a capacitância equivalente \,C_{\text{eq}}\, em série com os valores dados.
Aplicando a fórmula:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}.
Substituindo \,C_{1}=2{,}00\\ \mu\mathrm{F} e \,C_{2}=8{,}00\\ \mu\mathrm{F}:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{2{,}00\\ \mu\mathrm{F}}+\frac{1}{8{,}00\\ \mu\mathrm{F}} = \frac{1}{2{,}00}+\frac{1}{8{,}00}\\ \\ (\mu\mathrm{F}^{-1}).
Calcule passo a passo (em \mu\mathrm{F}^{-1}):
\frac{1}{2{,}00}=0{,}500\quad,\quad \frac{1}{8{,}00}=0{,}125,
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=0{,}500+0{,}125=0{,}625\\ \mu\mathrm{F}^{-1}.
Inverso:
C_{\text{eq}}=\frac{1}{0{,}625}=1{,}60\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 4

Calcular a carga comum q no modo série usando \,q=C_{\text{eq}}\,V_{\text{total}}\,.
Substituindo:
q=C_{\text{eq}}\,V_{\text{total}}=(1{,}60\\ \mu\mathrm{F})\,(300\\ \mathrm{V}).
Lembrando que 1\\ \mu\mathrm{F}\cdot\mathrm{V}=1\\ \mu\mathrm{C}, então:
q=1{,}60\times300\\ \mu\mathrm{C}=480\\ \mu\mathrm{C}.
Portanto, em módulo, ambos os capacitores têm carga 480\\ \mu\mathrm{C} enquanto estiverem em série ligados à fonte.

Passo 5

Calcular as diferenças de potencial em cada capacitor no caso série (itens (a)–(d)).
Usando \,V_{i}=q/C_{i}.
Para C_{1}:
V_{1}=\frac{q}{C_{1}}=\frac{480\\ \mu\mathrm{C}}{2{,}00\\ \mu\mathrm{F}}=240\\ \mathrm{V}.
Para C_{2}:
V_{2}=\frac{q}{C_{2}}=\frac{480\\ \mu\mathrm{C}}{8{,}00\\ \mu\mathrm{F}}=60\\ \mathrm{V}.
Cheque de consistência: V_{1}+V_{2}=240+60=300\\ \mathrm{V}=V_{\text{total}}, ok.
Portanto:
  • (a) \,q_{1}=480\\ \mu\mathrm{C}.
  • (b) \,V_{1}=240\\ \mathrm{V}.
  • (c) \,q_{2}=480\\ \mu\mathrm{C}.
  • (d) \,V_{2}=60\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Agora a primeira mudança de configuração: os capacitores são desligados da bateria e um do outro, ficando isolados cada um com suas cargas (cada um com +480\\ \mu\mathrm{C} numa placa e -480\\ \mu\mathrm{C} na outra). Em seguida, reconecta-se os capacitores entre si ligando as placas com cargas de mesmo sinal (isto é, conecta-se positivo com positivo e negativo com negativo) — sem bateria.
Explicação física e estratégia:
  • Como as placas de mesmo sinal são ligadas, os dois capacitores ficam em paralelo (duas placas ligadas formam um nó, e as outras duas formam o outro nó). Em paralelo, a capacitância equivalente é a soma:
C_{\text{par}}=C_{1}+C_{2}.
  • As cargas nas placas que se unem somam algebraicamente no nó, mas não há caminho para o exterior, então a carga total em cada nó é conservada.
  • Para encontrar a nova tensão comum \,V' entre as placas (após reconexão em paralelo), pode-se usar:
Q_{\text{nó}} = C_{\text{par}}\,V',ó
onde Q_{\text{nó}}ó é a carga total no nó positivo (soma das cargas positivas originais).

Passo 7

Calcular a nova tensão quando as placas de mesmo sinal são conectadas (itens (e)–(h)).
Primeiro, carga total no nó das placas positivas:
  • Cada capacitor tinha uma placa positiva com +480\\ \mu\mathrm{C}.
  • Ao ligar as duas placas positivas, a carga total do nó positivo é:
Q_{+}=480\\ \mu\mathrm{C}+480\\ \mu\mathrm{C}=960\\ \mu\mathrm{C}.
Analogamente, o nó negativo tem carga -960\\ \mu\mathrm{C}. O sistema continua neutro no global (soma das cargas é zero).
Capacitância equivalente em paralelo:
C_{\text{par}}=C_{1}+C_{2}=2{,}00\\ \mu\mathrm{F}+8{,}00\\ \mu\mathrm{F}=10{,}00\\ \mu\mathrm{F}.
Nova tensão comum \,V':
V'=\frac{Q_{+}}{C_{\text{par}}}=\frac{960\\ \mu\mathrm{C}}{10{,}00\\ \mu\mathrm{F}}=96\\ \mathrm{V}.
Cargas finais em cada capacitor (já que agora estão em paralelo, cada qual tem q_{i}'=C_{i}\,V'):
q_{1}'=C_{1}\,V'=2{,}00\\ \mu\mathrm{F}\times96\\ \mathrm{V}=192\\ \mu\mathrm{C},
q_{2}'=C_{2}\,V'=8{,}00\\ \mu\mathrm{F}\times96\\ \mathrm{V}=768\\ \mu\mathrm{C}.
Portanto, após reconectar placas de mesmo sinal:
  • (e) \,q_{1}=192\\ \mu\mathrm{C}.
  • (f) \,V_{1}=96\\ \mathrm{V}.
  • (g) \,q_{2}=768\\ \mu\mathrm{C}.
  • (h) \,V_{2}=96\\ \mathrm{V}.
Observação intuitiva: a carga total positiva foi repartida entre C_{1} e C_{2} na proporção das capacitâncias, porque em paralelo a tensão é a mesma e cada q=CV.

Passo 8

Agora o caso em que os capacitores carregados (do item (a)) foram ligados com cargas de sinais opostos conectadas entre si.
Interpretação e raciocínio:
  • Originalmente cada capacitor tem uma placa +\!480\\ \mu\mathrm{C} e a outra -\!480\\ \mu\mathrm{C}.
  • Se conectarmos a placa positiva de um capacitor à placa negativa do outro (e, implicitamente, a outra pair de placas também conectadas entre si), então em cada nó somamos cargas de sinais opostos.
  • A carga total do nó resultante será +480\\ \mu\mathrm{C}+(-480\\ \mu\mathrm{C})=0.
  • O outro nó também terá soma zero.
  • Assim, não sobra carga em nenhum nó: as cargas se cancelam totalmente. Como não existe bateria nem fonte externa, a carga não desaparece por mágica, ela se neutraliza entre as placas conectadas e energia é dissipada (por centelhamento ou resistência do fio) — mas o estado final elétrico dos capacitores é sem tensão.
Portanto:
  • A tensão final entre nós é \,V''=0\\ \mathrm{V}.
  • Assim os capacitores ficam descarregados, com q_{1}=q_{2}=0.

Passo 9

Resumo final e resultado numérico consolidado (respostas finais para cada item).

Resposta

(a) q_{1}=480\\ \mu\mathrm{C}
(b) V_{1}=240\\ \mathrm{V}
(c) q_{2}=480\\ \mu\mathrm{C}
(d) V_{2}=60\\ \mathrm{V}
(e) q_{1}=192\\ \mu\mathrm{C}
(f) V_{1}=96\\ \mathrm{V}
(g) q_{2}=768\\ \mu\mathrm{C}
(h) V_{2}=96\\ \mathrm{V}
(i) q_{1}=0\\ \mu\mathrm{C}
(j) V_{1}=0\\ \mathrm{V}
(k) q_{2}=0\\ \mu\mathrm{C}
(l) V_{2}=0\\ \mathrm{V}

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