A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de 25 íé$10500$ e que o prazo de antecipação é de 2 meses, determine a taxa de juros adotada na transação. (2 pontos)

Passo 1

Então, o problema diz que um título de valor nominal de $10500 foi antecipado por 2 meses e que a diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $25. A matéria aqui é desconto comercial versus desconto racional e vamos precisar das fórmulas de cada um para montar uma equação e achar a taxa de juros i.

Passo 2

No desconto comercial, a gente simplesmente desconta juros sobre o valor nominal. A fórmula do valor atual comercial é
VC = N,(1 - i,n)
Já no desconto racional, a gente “divide” o nominal pelo fator de capitalização. A fórmula do valor atual racional é
VR = N1 + i,n
Em ambas as fórmulas, N é o valor nominal ( 10500), i é a taxa por período e n é o número de períodos ( 2 meses).

Passo 3

A condição do problema é que
VR - VC = 25
Substituindo as fórmulas:
105001 + 2i - 10500(1 - 2i) = 25

Passo 4

Agora, vamos transformar isso numa equação algébrica. Primeiro, abro o produto:
10500(1 - 2i) = 10500 - 21000i
Então a equação fica
105001 + 2i - 10500 + 21000i = 25
Multiplicando tudo por (1 + 2i) para eliminar a fração, chega-se à forma quadrática
42000,i^2 - 50,i - 25 = 0

Passo 5

Para resolver essa quadrática, uso a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
De<a = (-50)^2 - 4cdot 42000 cdot (-25) = 2500 + 4200000 = 4202500
Então
i = 50 pm raiz42025002cdot 42000 = 50 pm 205084000
Apenas a raiz positiva faz sentido, logo
i = 50 + 205084000 = 210084000 = 0,025

Resposta

A taxa de juros adotada é de 2,5% ao mês.

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