A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de
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$10500$ e que o prazo de antecipação é de 2 meses, determine a taxa de juros adotada na transação. (2 pontos)
Passo 1
Então, o problema diz que um título de valor nominal de
foi antecipado por 2 meses e que a diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de
. A matéria aqui é desconto comercial versus desconto racional e vamos precisar das fórmulas de cada um para montar uma equação e achar a taxa de juros
.
Passo 2
No desconto comercial, a gente simplesmente desconta juros sobre o valor nominal. A fórmula do valor atual comercial é
Já no desconto racional, a gente “divide” o nominal pelo fator de capitalização. A fórmula do valor atual racional é
Em ambas as fórmulas,
é o valor nominal (
),
é a taxa por período e
é o número de períodos (
meses).
Passo 3
A condição do problema é que
Substituindo as fórmulas:
Passo 4
Agora, vamos transformar isso numa equação algébrica. Primeiro, abro o produto:
Então a equação fica
Multiplicando tudo por
para eliminar a fração, chega-se à forma quadrática
Passo 5
Para resolver essa quadrática, uso a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
Então
Apenas a raiz positiva faz sentido, logo
Resposta
A taxa de juros adotada é de 2,5% ao mês.