Suponha que ( X, Y ) seja uniformemente distribuído ao longo do quadrado centrado em (0,0) e com lados de comprimento 2 .
(b) Mostre que X e Y são independentes, com cada um sendo uniformemente distribuído ao longo de ( -1,1 ).

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é uniformemente distribuído sobre o quadrado de vértices (-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).
O conteúdo aqui é distribuição conjunta contínua, densidades marginais e independência de variáveis aleatórias.
Para resolver, vamos:
1. Escrever a densidade conjunta fX,Y(x,y).
2. Calcular as densidades marginais fX(x) e fY(y).
3. Verificar se fX,Y(x,y)=fX(x),fY(y).

Passo 2

Como (X,Y) é uniforme no quadrado de área 4, a densidade conjunta vale
fX,Y(x,y)= dfrac14,&se -1 <= x <= 1 e -1 <= y <= 1,[6pt] 0,&caso contrário á]

Passo 3

A densidade marginal de X obtém-se integrando fX,Y em y:
fX(x)=integral-!1^1fX,Y(x,y),dy =integral-1^114,dy =14times2 =12,
para -1<= x<=1, e zero fora deste intervalo.
Analogamente,
fY(y)=integral-1^1fX,Y(x,y),dx =14times2 =12,
para -1<= y<=1.

Passo 4

Agora, para -1<= x<=1 e -1<= y<=1,
fX(x),fY(y) =12cdot12 =14 =fX,Y(x,y)
Fora desse quadrado ambos os lados são zero. Portanto
fX,Y(x,y)=fX(x),fY(y)
em todo o plano, o que é a condição de independência.

Resposta

X e Y são independentes, cada um com distribuição Uniform(-1,1).

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