Diferencie
f(t)=\frac{2 t}{4+t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
f(t)=\frac{2t}{4+t^{2}}.
Informações dadas:
\text{função } f(t)=\frac{2t}{4+t^{2}}.çã
O que é pedido:
\text{determinar } f'(t), \text{ isto é, a derivada de } f \text{ em função de } t.éçã

Passo 2

Escolha do método: vou usar a regra do quociente porque a função está escrita como uma razão entre duas expressões simples. Vou explicar a regra do quociente com calma.
Regra do quociente: se u(t) e v(t) são funções diferenciáveis e
g(t)=\frac{u(t)}{v(t)},
então a derivada é
g'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • u(t) é o numerador da fração;
  • v(t) é o denominador da fração;
  • u'(t) é a derivada de u em relação a t;
  • v'(t) é a derivada de v em relação a t;
  • o numerador u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t) vem da aplicação da regra do produto e da linearidade do limite; não precisa decorar uma prova longa agora, só memorize essa forma e aplique passo a passo.

Passo 3

Identifico u(t) e v(t) para aplicar a regra do quociente:
u(t)=2t,\qquad v(t)=4+t^{2}.
Agora calculo u'(t) e v'(t) usando regras básicas:
  • A derivada de 2t em relação a t é a constante multiplicada por derivada de t, logo
u'(t)=2.
  • A derivada de 4+t^{2}: a derivada de uma constante 4 é 0; a derivada de t^{2} é 2t (regra da potência: se h(t)=t^{n} então h'(t)=n t^{n-1}). Assim
v'(t)=2t.

Passo 4

Aplico a regra do quociente:
f'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}=\frac{2\,(4+t^{2})-(2t)\,(2t)}{(4+t^{2})^{2}}.
Agora vou desenvolver o numerador passo a passo:
2\,(4+t^{2})=8+2t^{2},
(2t)\,(2t)=4t^{2}.
Então o numerador fica
8+2t^{2}-4t^{2}=8-2t^{2}.

Passo 5

Colocando de volta sobre o denominador:
f'(t)=\frac{8-2t^{2}}{(4+t^{2})^{2}}.
Posso simplificar o fator comum 2 no numerador:
8-2t^{2}=2(4-t^{2}),
logo
f'(t)=\frac{2(4-t^{2})}{(4+t^{2})^{2}}.

Passo 6

Verificação (método alternativo rápido): se eu reescrevesse a função como produto
f(t)=2t\cdot(4+t^{2})^{-1}
poderia aplicar a regra do produto e a regra da cadeia; isso daria o mesmo resultado depois de simplificar. Ter duas maneiras que batem é um bom check mental na prova.

Resposta

\displaystyle f'(t)=\frac{2(4-t^{2})}{(4+t^{2})^{2}}

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