Diferencie
y=\frac{1}{s+k e^{s}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\frac{1}{s+k e^{s}}.
Informações dadas:
  • A variável independente é s.
  • A constante k é tratada como parâmetro (ou seja, não depende de s).
  • A função envolve uma soma no denominador e uma exponencial e^{s}.
    A partir daqui vamos diferenciar y em relação a s.

Passo 2

Uma reescrita útil é colocar a função como potência negativa. Definimos
u(s)=s+k e^{s},
então
y=(u(s))^{-1}.
A técnica que iremos usar é a regra da cadeia aplicada à potência: se y=(u(s))^{n}, então
\frac{dy}{ds}=n\,(u(s))^{n-1}\,u'(s).
Aqui temos n=-1.

Passo 3

Agora calculamos u'(s). Como u(s)=s+k e^{s}, derivando termo a termo:
  • A derivada de s em relação a s é 1.
  • A derivada de k e^{s} é k vezes a derivada de e^{s}. A derivada de e^{s} é e^{s}.
    Portanto
u'(s)=1+k e^{s}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia com n=-1:
\frac{dy}{ds}=-1\cdot (u(s))^{-2}\cdot u'(s).
Substituindo u(s) e u'(s) obtemos
\frac{dy}{ds}=-\frac{1+k e^{s}}{(s+k e^{s})^{2}}.
Esta é a forma simplificada da derivada.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, mas boa para a prova): usar a regra do quociente para checar. Com y=\dfrac{1}{u(s)}, a regra do quociente dá
\frac{dy}{ds}=\frac{0\cdot u(s)-1\cdot u'(s)}{(u(s))^{2}}=-\frac{u'(s)}{(u(s))^{2}},
que coincide com o resultado do passo anterior, confirmando que está correto.

Resposta

\frac{dy}{ds}=-\frac{1+k e^{s}}{(s+k e^{s})^{2}}

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