Diferencie
Passo 1
O enunciado pede para diferenciar a função
Informações relevantes fornecidas:
é o produto de duas funções
e
.
A pergunta clara é: calcular , a derivada de
.
A pergunta clara é: calcular
Passo 2
Método: como
é produto de duas funções, usamos a regra do produto. Vou explicar a regra do produto de forma bem didática.
A regra do produto diz que, se e
são duas funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
A regra do produto diz que, se
Isto significa: derivamos uma das funções mantendo a outra, multiplicamos; somamos com a mesma coisa trocando a função que foi derivada. É como pensar: “derivo a primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes derivo a segunda”.
Passo 3
Identificamos as duas funções do produto:
Agora precisamos das derivadas
e
. Para isso usamos a regra da potência: se
então
. A derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função.
Passo 4
Calculemos
. Aplicando a regra da potência termo a termo:
Portanto
Passo 5
Calculemos
. Aplicando a regra da potência termo a termo:
Portanto
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto com os resultados:
,
,
,
. Assim
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos expandir cada produto cuidadosamente (mostrando passo a passo para você poder reproduzir na prova).
Primeiro termo:
Logo o primeiro produto dá
Passo 8
Segundo termo: multiplicamos
por
termo a termo:
Somando esses resultados temos
Passo 9
Somamos os dois blocos expandidos:
Agora combinamos termos semelhantes: os termos em
, os termos em
e o termo constante.
E o termo constante é
. Portanto
Passo 10
Opcional (fatoração simples): podemos tirar fator comum
para escrever de forma mais compacta: