Diferencie
V(x)=\left(2 x^{3}+3\right)\left(x^{4}-2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para diferenciar a função
V(x)=\left(2 x^{3}+3\right)\left(x^{4}-2 x\right).
Informações relevantes fornecidas:
\;V(x) é o produto de duas funções \;2x^{3}+3 e \;x^{4}-2x.
A pergunta clara é: calcular \;V'(x), a derivada de \;V(x).

Passo 2

Método: como \;V(x) é produto de duas funções, usamos a regra do produto. Vou explicar a regra do produto de forma bem didática.
A regra do produto diz que, se \;u(x) e \;v(x) são duas funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
( u\cdot v )' = u' \cdot v + u \cdot v'.
Isto significa: derivamos uma das funções mantendo a outra, multiplicamos; somamos com a mesma coisa trocando a função que foi derivada. É como pensar: “derivo a primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes derivo a segunda”.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=2x^{3}+3
v(x)=x^{4}-2x
Agora precisamos das derivadas u'(x) e v'(x). Para isso usamos a regra da potência: se \;f(x)=x^{n} então \;f'(x)=n x^{n-1}. A derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função.

Passo 4

Calculemos u'(x). Aplicando a regra da potência termo a termo:
\text{derivada de }2x^{3}\text{ é }2\cdot 3x^{2}=6x^{2},é
\text{derivada de }3\text{ é }0.é
Portanto
u'(x)=6x^{2}.

Passo 5

Calculemos v'(x). Aplicando a regra da potência termo a termo:
\text{derivada de }x^{4}\text{ é }4x^{3},é
\text{derivada de }-2x\text{ é }-2.é
Portanto
v'(x)=4x^{3}-2.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto com os resultados: u'(x)=6x^{2}, v(x)=x^{4}-2x, u(x)=2x^{3}+3, v'(x)=4x^{3}-2. Assim
V'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores:
V'(x)=\left(6x^{2}\right)\left(x^{4}-2x\right)+\left(2x^{3}+3\right)\left(4x^{3}-2\right).

Passo 7

Vamos expandir cada produto cuidadosamente (mostrando passo a passo para você poder reproduzir na prova).
Primeiro termo:
6x^{2}\cdot x^{4}=6x^{6}
6x^{2}\cdot(-2x)=-12x^{3}
Logo o primeiro produto dá
6x^{6}-12x^{3}.

Passo 8

Segundo termo: multiplicamos \;2x^{3}+3 por \;4x^{3}-2 termo a termo:
2x^{3}\cdot 4x^{3}=8x^{6}
2x^{3}\cdot(-2)=-4x^{3}
3\cdot 4x^{3}=12x^{3}
3\cdot(-2)=-6
Somando esses resultados temos
8x^{6}-4x^{3}+12x^{3}-6=8x^{6}+8x^{3}-6.

Passo 9

Somamos os dois blocos expandidos:
\left(6x^{6}-12x^{3}\right)+\left(8x^{6}+8x^{3}-6\right).
Agora combinamos termos semelhantes: os termos em x^{6}, os termos em x^{3} e o termo constante.
6x^{6}+8x^{6}=14x^{6}
-12x^{3}+8x^{3}=-4x^{3}
E o termo constante é -6. Portanto
V'(x)=14x^{6}-4x^{3}-6.

Passo 10

Opcional (fatoração simples): podemos tirar fator comum 2 para escrever de forma mais compacta:
V'(x)=2\left(7x^{6}-2x^{3}-3\right).

Resposta

V'(x)=14x^{6}-4x^{3}-6
V'(x)=2\left(7x^{6}-2x^{3}-3\right)

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