Diferencie
g(x)=\sqrt{x} e^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: diferenciar a função g(x)=\sqrt{x}\,e^{x}.\n
Informações dadas e observações importantes: g(x) envolve uma raiz quadrada, então a função está definida para x\ge 0. Na prática, para calcular a derivada usando regras usuais precisamos tomar x>0 (pois a derivada de \sqrt{x} em 0 é singular). O objetivo é achar g'(x) para x>0.

Passo 2

Vamos reescrever a função numa forma que facilita a diferenciação. A raiz quadrada é a potência 1/2, então
g(x)=x^{1/2} e^{x}.
Reescrever assim ajuda porque podemos aplicar a regra do poder para x^{1/2} e a regra para e^{x}.

Passo 3

Vou recordar as regras que vamos usar (com explicação curta e exemplo rápido):
  • Regra do poder: se h(x)=x^{n} com n constante, então h'(x)=n x^{n-1}. Ex.: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Derivada da exponencial: \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Ou seja, e^{x} é sua própria derivada.
  • Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isso significa que derivamos uma das funções e multiplicamos pela outra, e somamos o caso inverso.

Passo 4

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=x^{1/2},\qquad v(x)=e^{x}.
Calculamos suas derivadas separadamente usando as regras acima.
Usando a regra do poder:
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Usando a regra da exponencial:
v'(x)=e^{x}.

Passo 5

Aplicamos a regra do produto:
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtemos
g'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}\,e^{x}+x^{1/2}\,e^{x}.
Agora fatoramos e^{x} (que aparece em ambos os termos) para deixar a expressão mais elegante:
g'(x)=e^{x}\!\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}+x^{1/2}\right).
Reescrevendo x^{\pm 1/2} em termos de \sqrt{x} fica
g'(x)=e^{x}\!\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right).
Se preferir uma única fração, colocamos sobre o denominador 2\sqrt{x}:
g'(x)=e^{x}\frac{2x+1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Observação final e checagem rápida: todas as formas acima são equivalentes para x>0. Como checagem numérica simples, para x=1 temos g'(1)=e^{1}\left(1+\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{3}{2}e, que faz sentido substituindo na expressão original.

Resposta

\displaystyle g'(x)=e^{x}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=e^{x}\frac{2x+1}{2\sqrt{x}}

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