Diferencie
Passo 1
O que o enunciado pede: diferenciar a função
.\n
Informações dadas e observações importantes: envolve uma raiz quadrada, então a função está definida para
. Na prática, para calcular a derivada usando regras usuais precisamos tomar
(pois a derivada de
em
é singular). O objetivo é achar
para
.
Informações dadas e observações importantes:
Passo 2
Vamos reescrever a função numa forma que facilita a diferenciação. A raiz quadrada é a potência
, então
Reescrever assim ajuda porque podemos aplicar a regra do poder para
e a regra para
.
Passo 3
Vou recordar as regras que vamos usar (com explicação curta e exemplo rápido):
- Regra do poder: se
com constante, então . Ex.: . - Derivada da exponencial:
. Ou seja, é sua própria derivada. - Regra do produto: se
, então
Isso significa que derivamos uma das funções e multiplicamos pela outra, e somamos o caso inverso.
Passo 4
Identificamos as duas funções do produto:
Calculamos suas derivadas separadamente usando as regras acima.
Usando a regra do poder:
Usando a regra do poder:
Usando a regra da exponencial:
Passo 5
Aplicamos a regra do produto:
Substituindo
obtemos
Agora fatoramos
(que aparece em ambos os termos) para deixar a expressão mais elegante:
Reescrevendo
em termos de
fica
Se preferir uma única fração, colocamos sobre o denominador
:
Passo 6
Observação final e checagem rápida: todas as formas acima são equivalentes para
. Como checagem numérica simples, para
temos
, que faz sentido substituindo na expressão original.