Diferencie.
f(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{x^{2}-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{tg}x}{x^{2}-2}.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente para derivadas e a derivada da função tangente.

Passo 2

Identificamos as funções
u(x)=\operatorname{tg}x \quad\text{e}\quad v(x)=x^{2}-2,
de modo que f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-2\bigr)=2x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{\operatorname{sec}^{2}x\,(x^{2}-2)\;-\;\operatorname{tg}x\cdot 2x}{(x^{2}-2)^{2}}.

Passo 5

Reescrevendo de forma mais enxuta,
f'(x) =\frac{(x^{2}-2)\,\operatorname{sec}^{2}x-2x\,\operatorname{tg}x}{(x^{2}-2)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{(x^{2}-2)\,\operatorname{sec}^{2}x-2x\,\operatorname{tg}x}{(x^{2}-2)^{2}}.

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