Explique por que a função é descontínua no número dado.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x-2}, & \text { se } x \neq 2 \\\\ 3, & \text { se } x=2\end{array} \quad, \quad a=2\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x-2},&\text{se }x\neq 2,\\[6pt] 3,&\text{se }x=2, \end{cases}
e pede para explicar por que ela é descontínua em a=2. Para isso, precisamos usar a definição de continuidade: f é contínua em a se, e somente se, \lim_{x\to a}f(x) existe (é um número finito) e coincide com f(a).]

Passo 2

Calcular as limites laterais de f em x=2.
Para x\to2^- (pela esquerda), temos
\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2} = -\infty,
pois o denominador x-2 tende a 0 pelo lado negativo.
Para x\to2^+ (pela direita),
\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x-2} = +\infty,
pois agora x-2 tende a 0 pelo lado positivo.

Passo 3

Como as duas limites laterais são infinitos e de sinais opostos, o limite
\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2}
não existe como número finito. Logo, \lim_{x\to2}f(x) não existe.

Passo 4

Para que f fosse contínua em 2, precisaríamos de
\lim_{x\to2}f(x)=f(2)=3.
Mas já vimos que \lim_{x\to2}f(x) não existe (é infinito), portanto não pode ser igual a 3. Daí a descontinuidade.

Resposta

A função é descontínua em x=2 porque o limite \lim_{x\to2}f(x) não existe (tende a \pm\infty) e, portanto, não coincide com f(2)=3.

Exercícios relacionados