Diferencie.
f(x)=x^{2} \sqrt{x^{3}-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{2}\sqrt{x^{3}-x}.
O conteúdo principal é aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=x^{2}\,(x^{3}-x)^{\tfrac12}.
Definimos
u(x)=x^{2}, \quad v(x)=(x^{3}-x)^{\tfrac12},
de modo que a regra do produto dá
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v. Como u(x)=x^{2},
u'(x)=2x.
Para v(x)=(x^{3}-x)^{\tfrac12}, pela regra da cadeia,
v'(x) =\tfrac12\,(x^{3}-x)^{-\tfrac12}\,\bigl(3x^{2}-1\bigr).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x), obtemos
f'(x) =2x\,(x^{3}-x)^{\tfrac12} + x^{2}\,\tfrac12\,(x^{3}-x)^{-\tfrac12}(3x^{2}-1).

Passo 5

Para combinar termos, colocamos tudo sobre o mesmo denominador 2\,(x^{3}-x)^{\tfrac12}:
2x\,(x^{3}-x)^{\tfrac12} =\frac{4x\,(x^{3}-x)}{2\,(x^{3}-x)^{\tfrac12}}, \quad x^{2}\,\tfrac12\,(x^{3}-x)^{-\tfrac12}(3x^{2}-1) =\frac{x^{2}(3x^{2}-1)}{2\,(x^{3}-x)^{\tfrac12}}.
Somando os numeradores:
4x\,(x^{3}-x)+x^{2}(3x^{2}-1) =4x^{4}-4x^{2}+3x^{4}-x^{2} =7x^{4}-5x^{2} =x^{2}(7x^{2}-5).
Logo,
f'(x) =\frac{x^{2}(7x^{2}-5)}{2\,(x^{3}-x)^{\tfrac12}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{2}(7x^{2}-5)}{2\sqrt{x^{3}-x}}.

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