Questão 5. Use transformada de Laplace para resolver o seguinte PVI:
y^{\prime}+3 y=1, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'(t) + 3\,y(t) = 1,\quad y(0)=0
usando transformada de Laplace. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de 1.º grau com termo não homogêneo constante. Vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'(t)\} = s\,Y(s) - y(0)
\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)
\mathcal{L}\{1\} = 1/s.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace à equação, obtemos
\mathcal{L}\{y'\} + 3\,\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{1\}
ou seja
\bigl(s\,Y(s) - y(0)\bigr) + 3\,Y(s) = \frac{1}{s}.
Como y(0)=0, isso vira
s\,Y(s) + 3\,Y(s) = \frac{1}{s}.

Passo 3

Fatorando Y(s) do lado esquerdo, temos
Y(s)\,(s+3) = \frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{s\,(s+3)}.

Passo 4

Vamos decompor em frações parciais: escrevemos
\frac{1}{s\,(s+3)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+3}.
Multiplicando por s(s+3), obtemos
1 = A\,(s+3) + B\,s = (A+B)\,s + 3A.
Comparando coeficientes,
A + B = 0, \quad 3A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac{1}{3},\;B = -\tfrac{1}{3}.
Logo
Y(s) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{s} \;-\;\frac{1}{3}\,\frac{1}{s+3}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
y(t) = \frac{1}{3}\,\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\} - \frac{1}{3}\,\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+3}\Bigr\} = \frac{1}{3}\,(1) - \frac{1}{3}\,e^{-3t}.
Portanto

Resposta

y(t) = \frac{1}{3}\,\bigl(1 - e^{-3t}\bigr).

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