Diferencie a função,
h(x)=ln (x+raizx^2-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=lnl(x+raizx^2-1r)
Vamos usar a regra da cadeia: primeiro identificamos u(x)=x+raizx^2-1 e depois aplicamos
ddxlnl(u(x)r)=u'(x)u(x)

Passo 2

Calculemos u'(x). Como
u(x)=x+raizx^2-1,
temos
ddxl(xr)=1 e ddxl(raizx^2-1r) =12raizx^2-1cdot 2x =xraizx^2-1
Logo
u'(x)=1+xraizx^2-1

Passo 3

Pela regra da cadeia,
h'(x) =u'(x)u(x) =1+dfracxraizx^2-1 x+raizx^2-1

Passo 4

Para simplificar, escrevemos o numerador sobre um mesmo denominador:
1+xraizx^2-1 =raizx^2-1+xraizx^2-1
Então
h'(x) =tfracraizx^2-1+xraizx^2-1 x+raizx^2-1 =raizx^2-1+xraizx^2-1,l(x+raizx^2-1r) =1raizx^2-1

Resposta

h'(x)=1raizx^2-1, |x|>1

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