Para todas as questões, considere a seguinte tabela:
x 0 1 2 3
f(x) 4 3 0 -5
Calcule, para a tabela:
a) o polinômio de Newton. Desenvolva o polinômio, simplificando ao máximo.
b) o polinômio de Lagrange.

Passo 1

O enunciado fornece quatro pontos
(0,4), (1,3), (2,0) e (3,-5)
e pede o polinômio de interpolação no formato de Newton (usando diferenças divididas) e no formato de Lagrange (usando funções base).

Passo 2

Vamos montar a tabela de diferenças divididas:
c|c|c|c|c xi & f[xi] & f[xi,xi+1] & f[xi,xi+1,xi+2] & f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]hline 0 & 4 & 3-41-0=-1 & -3-(-1)2-0=-1 & -1-(-1)3-0=0 1 & 3 & 0-32-1=-3 & -5-(-3)3-1=-1 & 2 & 0 & -5-03-2=-5 & & 3 & -5 & & &

Passo 3

O polinômio de Newton é
P(x)=f[0]+f[0,1](x-0)+f[0,1,2](x-0)(x-1)+f[0,1,2,3](x-0)(x-1)(x-2)
Substituindo os valores:
P(x)=4+(-1),x+(-1),x(x-1)+0cdot x(x-1)(x-2)
Logo
P(x)=4 - x - x^2 + x = 4 - x^2

Passo 4

As funções base de Lagrange são, para i=0,1,2,3:
l0(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(0-1)(0-2)(0-3) =-(x-1)(x-2)(x-3)6,
l1(x)=x(x-2)(x-3)(1-0)(1-2)(1-3) =x(x-2)(x-3)2,
l2(x)=x(x-1)(x-3)(2-0)(2-1)(2-3) =-x(x-1)(x-3)2,
l3(x)=x(x-1)(x-2)(3-0)(3-1)(3-2) =x(x-1)(x-2)6
O polinômio de Lagrange é
P(x)=sumi=0^3f[xi],li(x) =4,l0(x)+3,l1(x)+0cdot l2(x)-5,l3(x)
Pode-se expandir e simplificar, encontrando novamente
P(x)=4 - x^2

Resposta

a) PNewton(x)=4 - x^2
b) PLagran>=(x)=4,l0(x)+3,l1(x)-5,l3(x), que ao simplificar dá 4 - x^2.

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