Use os multiplicadores de Lagrange para achar os extremos de sujeitos aos vínculos indicados.
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Passo 1

O enunciado pede para encontrar extremos de
f(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2
sujeito aos vínculos lineares
3x+4y=5, z+t=2
O conteúdo principal é o método dos multiplicadores de Lagrange: vamos montar o Lagrangiano com dois multiplicadores ( lambda e mu) e resolver o sistema formado pelas derivadas parciais igualadas a zero junto com os vínculos.

Passo 2

Construímos o Lagrangiano
L(x,y,z,t,lambda,mu) =x^2+y^2+z^2+t^2 -lambda,(3x+4y-5) -mu,(z+t-2)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e as igualamos a zero:
partialLpartial x=2x-3lambda=0,[6pt] partialLpartial y=2y-4lambda=0,[6pt] partialLpartial z=2z-mu=0,[6pt] partialLpartial t=2t-mu=0 ]

Passo 4

Da primeira e segunda equações vem
x=32,lambda, y=2,lambda,
e da terceira e quarta
z=mu2, t=mu2

Passo 5

Aplicamos os vínculos para determinar lambda e mu.
Para 3x+4y=5:
3l(32lambdar)+4(2lambda) =92lambda+8lambda =252lambda =5 ;Longrightarrow; lambda=25
Para z+t=2:
mu2+mu2=mu=2 ;Longrightarrow; mu=2

Passo 6

Substituindo lambda=tfrac25 e mu=2 nas expressões de x,y,z,t, obtemos
x=32cdot25=35, y=2cdot25=45, z=t=22=1
O valor de f nesse ponto é
fl(tfrac35,tfrac45,1,1r) =l(tfrac35r)^2 +l(tfrac45r)^2 +1^2+1^2 =925+1625+1+1 =3

Passo 7

Como f é soma de quadrados (função estritamente convexa) e o conjunto definido pelos vínculos é um plano afim, o ponto encontrado é um mínimo global. Não existe máximo, pois o plano afim é não–restrito e fto+infty ao afastar-se do mínimo.

Resposta

O ponto de mínimo é
l(x,y,z,tr)=l(tfrac35,tfrac45,1,1r),
com valor mínimo f=3. Não há máximo.

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