Esboce o gráfico e determine domínio das seguintes funções:
Passo 1
Temos a função definida por partes
f(x)= -x+2, & x<-1, x^3, & -1<= x<1, raizx, & x>1
O conteúdo aqui é função definida por partes e domínio de uma função. Vamos primeiro determinar onde cada ramo está definido para achar o domínio e depois esboçar cada trecho do gráfico, marcando pontos abertos e fechados nas fronteiras.
Passo 2
Analisando os domínios de cada ramo: 1. Para -x+2 não há restrição além de x<-1, logo esse ramo vive em (-infty,-1). 2. Para x^3 está definido em todo real, mas usamos apenas -1<= x<1, isto é [-1,1). 3. Para raizx precisamos x>=0, porém o ramo vale só para x>1, daí o domínio desse pedaço é (1,infty).
Unindo tudo, o domínio de f é
(-infty,-1);cup;[-1,1);cup;(1,infty)
Que, notando que (-infty,-1)cup[-1,1) = (-infty,1), fica equivalente a
boxed(-infty,1),cup,(1,infty)
Passo 3
Agora esboçamos cada trecho:
1. Ramo 1 (x<-1): reta de equação
y = -x + 2,
que para x=-1 atinge y = -(-1)+2 = 3, mas esse ponto é aberto em (-1,3) pois não incluímos x=-1.
2. Ramo 2 (-1<= x<1): curva cúbica
y = x^3,
com ponto fechado em (-1,,-1) e ponto aberto em (1,,1).
3. Ramo 3 (x>1): raiz quadrada
y = raizx,
que para xto1^+ tende a 1, mas em (1,1) fica um ponto aberto. A partir daí cresce lentamente.
Observações de continuidade: há salto em x=-1 (do valor -1 para “chegando a” 3) e em x=1 temos um furo removível (limite de ambos os lados vale 1, porém f(1) não existe).
Resposta
Domínio de f:
(-infty,1);cup;(1,infty)
Esboço do gráfico:
Para x<-1, reta y=-x+2 terminando em círculo aberto em (-1,3).
Para -1<= x<1, curva cúbica y=x^3 com marcador fechado em (-1,-1) e aberto em (1,1).
Para x>1, ramo y=raizx iniciando em círculo aberto em (1,1) e crescendo para a direita.