Diferencie a função,
F(y)=y ln (1+e^y)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(y)=ylnl(1+e^yr)
Aqui vamos usar as regras de derivação de produto e de cadeia: preciso lembrar que, se F(y)=u(y),v(y), então
F'(y)=u'(y),v(y)+u(y),v'(y),
e que
ddyln(g(y))=g'(y)/g(y).

Passo 2

Identifico
u(y)=y, v(y)=lnl(1+e^yr)
Pela regra do produto,
F'(y)=u'(y),v(y)+u(y),v'(y) =l(1r),lnl(1+e^yr) +y,v'(y)

Passo 3

Calculo v'(y) usando regra da cadeia em
v(y)=lnl(1+e^yr).
Seja g(y)=1+e^y, então g'(y)=e^y e
v'(y)=g'(y)g(y) =e^y1+e^y

Passo 4

Substituindo v'(y) em F'(y), obtenho
F'(y) =lnl(1+e^yr) +ycdote^y1+e^y =lnl(1+e^yr)+y,e^y1+e^y

Resposta

F'(y)=lnl(1+e^yr)+y,e^y1+e^y

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