resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
Nos problemas 1-22:
(9.) y ln x d xd y=(y+1x)^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y,ln x,dxdy=l(y+1xr)^2
e pede a solução por separação de variáveis. O conteúdo envolve reconhecer que é uma equação separável, separar x e y, depois integrar cada lado (à esquerda um caso de integração por partes e à direita uma integral elementar).

Passo 2

Começamos reescrevendo em forma separável. Isolando dxdy:
dxdy =(y+1)^2y,x^2ln x
Multiplicando ambos os lados por x^2ln x e por dy, obtemos
x^2ln x,dx =(y+1)^2y,dy

Passo 3

Calculamos a integral à esquerda por partes. Seja
u=ln x, dv=x^2,dx Longrightarrow du=dxx, v=x^33
Então
integral x^2ln x,dx =x^33ln x -integralx^33cdotdxx =x^33ln x -13integral x^2,dx =x^33ln x -x^39

Passo 4

Calculamos a integral à direita por decomposição:
integral(y+1)^2y,dy =integrall(y+2+1yr),dy =y^22+2y+lnlvert yrvert

Passo 5

Igualando as duas primitivas e incluindo a constante C, temos a solução geral implícita
x^33ln x -x^39 =y^22 +2y +lnlvert yrvert +C

Resposta

x^33ln x -x^39 =y^22 +2y +lnlvert yrvert +C

Exercícios relacionados