Diferencie a função:
a) f(x)=5 x-1
b) f(x)=-4 x^10
c) f(x)=x^2+3 x-4
d) g(x)=5 x^8-2 x^5+6
e) y=5 e^x+3
f) V(r)=43 pi r^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de várias funções elementares. O conteúdo aqui envolve as regras de derivação mais básicas: regra da soma, regra do fator constante, regra do poder e a derivada da exponencial. Vamos aplicar essas regras em cada item para obter f'(x), g'(x) ou V'(r).

Passo 2

Resumo das regras que vamos usar:
  1. Derivada da soma: ddxl(u(x)+v(x)r)=u'(x)+v'(x).
  2. Fator constante: ddxl(ccdot u(x)r)=ccdot u'(x), onde c é constante.
  3. Regra do poder: ddxl(x^nr)=n,x^n-1.
  4. Derivada de exponencial: ddxl(e^xr)=e^x.
  5. Derivada de constante: ddx(C)=0.

Passo 3

Aplicando as regras ao item (a):
f(x)=5x-1
Aqui é soma de 5x e -1. A derivada de 5x é o fator 5 vindo junto e a derivada de -1 é zero. Logo,
f'(x)=5cdotddx(x)-0=5cdot1=5

Passo 4

Agora os polinômios e monômios dos itens (b), (c), (d) e (f):
(b) f(x)=-4x^10.
Pela regra do poder com fator constante,
f'(x)=-4cdot10,x^9=-40,x^9
(c) f(x)=x^2+3x-4.
Derivada termo a termo:
ddx(x^2)=2x, ddx(3x)=3, ddx(-4)=0,
logo
f'(x)=2x+3
(d) g(x)=5x^8-2x^5+6.
Semelhante ao anterior:
ddx(5x^8)=5cdot8,x^7=40x^7, ddx(-2x^5)=-2cdot5,x^4=-10x^4, ddx(6)=0,
logo
g'(x)=40x^7-10x^4
(f) V(r)=tfrac43pi r^3.
Constante tfrac43pi e poder 3:
V'(r)=tfrac43picdot3,r^2=4pi,r^2

Passo 5

Finalmente o item (e), com exponencial:
y=5e^x+3
Derivada de 5e^x é 5e^x e de 3 é zero. Logo
y'=5e^x

Resposta

(a) f'(x)=5
(b) f'(x)=-40x^9
(c) f'(x)=2x+3
(d) g'(x)=40x^7-10x^4
(e) y'=5e^x
(f) V'(r)=4pi,r^2

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