1. Verifique se a equacao ( cos x sen x-x y 2) d x=-y(1-x 2) d y e exata e resolva-a.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(cos xsin x - x y^2r),dx = -yl(1 - x^2r),dy
e pede para verificar se ela é exata e, em caso positivo, resolver.
Conteúdo: equações diferenciais de primeira ordem exatas. Vamos precisar identificar
M(x,y)=cos xsin x - x y^2, N(x,y)=yl(1 - x^2r),
verificar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x e depois achar uma função potencial Psi(x,y) tal que
Psix = M, Psiy = N

Passo 2

Verificação de exatidão. Calculamos
partial Mpartial y = partialpartial yl(cos xsin x - x y^2r) = -2x,y,
partial Npartial x = partialpartial xl[y(1-x^2)r] = ycdot(-2x) = -2x,y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construção da função potencial Psi(x,y). Integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integral l(cos xsin x - x y^2r),dx = integral cos xsin x,dx ;-; y^2integral x,dx
Sabemos que integral cos xsin x,dx = tfrac12sin^2 x e integral x,dx = tfrac12x^2. Logo
Psi(x,y) = 12sin^2 x ;-; y^2x^22 ;+; h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Encontrando h(y) por comparação com Psiy=N. Calculamos
Psiy = partialpartial yl(tfrac12sin^2 x - tfrac12x^2y^2 + h(y)r) = -x^2,y + h'(y)
Devemos ter Psiy = N = y(1-x^2)=y - x^2y. Portanto
-x^2y + h'(y) = y - x^2y Longrightarrow h'(y)=y Longrightarrow h(y)=y^22

Passo 5

Escrevendo a solução geral. Substituindo h(y)=tfrac12y^2 em Psi, obtemos
Psi(x,y) = 12sin^2 x - 12x^2y^2 + 12y^2
A constante de integração geral C aparece em Psi(x,y)=C. Multiplicando tudo por 2 para simplificar, a solução implícita fica
sin^2 x + y^2(1 - x^2) = C

Resposta

boxedsin^2 x + y^2l(1 - x^2r) = C

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