Diferencie a função.
y=\frac{e^{x}}{1+x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = \frac{e^{x}}{1+x}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Definimos
u(x) = e^{x}, \quad v(x) = 1 + x.
Pela regra do quociente, a derivada é
y' = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(x) = e^{x} \quad\text{(pois a derivada de \(e^x\) é \(e^x\))},é
v'(x) = 1 \quad\text{(pois a derivada de \(1+x\) é \(1\))}.é

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente:
y' = \frac{e^{x}(1+x) - e^{x}\cdot 1}{(1+x)^{2}} = \frac{e^{x}\bigl[(1+x) - 1\bigr]}{(1+x)^{2}}.

Passo 5

Simplificando o numerador:
(1+x)-1 = x,
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y' = \frac{e^{x}\,x}{(1+x)^{2}}.

Resposta

y' = \frac{x\,e^{x}}{(1+x)^{2}}.

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