Encontre a y^{\prime} diferenciando implicitamente.
x^{3}+x^{2} y+4 y^{2}=6.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos \frac{dy}{dx} (denotado por y') a partir da relação implícita
x^{3} + x^{2}y + 4y^{2} = 6.
Vamos usar:
– a derivada de x^{n} é nx^{n-1},
– a regra do produto para x^{2}y: \frac{d}{dx}(u\,v)=u'\,v+u\,v',
– a regra da cadeia para 4y^{2}: \frac{d}{dx}y^{2}=2y\,y'.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2},
\frac{d}{dx}(x^{2}y) = (2x)\,y + x^{2}\,y',
\frac{d}{dx}(4y^{2}) = 4\cdot2y\,y' = 8y\,y',
\frac{d}{dx}(6)=0.
Logo, somando tudo:
3x^{2} + \bigl(2x\,y + x^{2}y'\bigr) + 8y\,y' = 0.

Passo 3

Reorganizando os termos que contêm y' num lado e os demais no outro:
x^{2}y' + 8y\,y' = -\bigl(3x^{2} + 2x\,y\bigr).
Fatorando y':
y'\,(x^{2} + 8y) = -\bigl(3x^{2} + 2x\,y\bigr).

Passo 4

Isolando y':
y' = \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^{2} + 2x\,y}{x^{2} + 8y}.

Resposta

y' = -\frac{3x^{2} + 2x\,y}{x^{2} + 8y}.

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