Encontre a y^{\prime} diferenciando implicitamente.
\cos (x-y)=x e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\cos(x - y) = x e^{x}
e pede y', ou seja, a derivada de y em função de x. Para isso vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
– No lado esquerdo, se f(u)=\cos(u) então f'(u)=-\sin(u). Aqui u=x-y(x), logo u'=1 - y'. Assim
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x-y)\bigr] = -\sin(x-y)\,(1 - y').
– No lado direito, usando a regra do produto em x\cdot e^{x}:
\frac{d}{dx}\bigl[x e^{x}\bigr] = 1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x} = e^{x} + x e^{x}.
Portanto a igualdade das derivadas é
-\sin(x-y)\,(1 - y') = e^{x} + x e^{x}.

Passo 3

Agora isolamos y'. Primeiro distribuímos no lado esquerdo:
-\sin(x-y) + \sin(x-y)\,y' = e^{x}(1 + x).
Passando -\sin(x-y) para o outro lado:
\sin(x-y)\,y' = \sin(x-y) + e^{x}(1 + x).
Por fim, dividimos por \sin(x-y):
y' = \frac{\sin(x-y) + e^{x}(1 + x)}{\sin(x-y)} = 1 + \frac{e^{x}(1 + x)}{\sin(x-y)}.

Resposta

y' = 1 + \frac{(1 + x)e^{x}}{\sin(x - y)}.

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