Encontre a y^{\prime} diferenciando implicitamente.
\sqrt{x y}=1+x^{2} y.

Passo 1

O enunciado pede a derivada y'= \frac{dy}{dx} de forma implícita para a equação
\sqrt{x\,y} \;=\; 1 \;+\; x^{2}y.
Aqui vamos usar regra do produto, regra da cadeia e álgebra para isolar y'.

Passo 2

Escrevemos \sqrt{x\,y} = (x\,y)^{\tfrac12} e diferenciamos ambos os lados em relação a x.
Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr)^{\tfrac12} = \tfrac12\,(x\,y)^{-\tfrac12}\,\frac{d}{dx}(x\,y).
E \frac{d}{dx}(x\,y)=y + x\,y'.

Passo 3

No lado direito, derivamos 1 + x^{2}y por produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) =2x\,y + x^{2}y'.
Portanto a diferenciação implícita dá
\tfrac12\,(x\,y)^{-\tfrac12}\,(y + x\,y') \;=\; 2x\,y + x^{2}y'.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 2\,(x\,y)^{\tfrac12} para eliminar o denominador:
y + x\,y' \;=\; 2\,(x\,y)^{\tfrac12}\bigl(2x\,y + x^{2}y'\bigr) =4x\,y\,(x\,y)^{\tfrac12} \;+\;2x^{2}(x\,y)^{\tfrac12}\,y'.

Passo 5

Agrupamos os termos com y' num lado e os sem y' no outro:
x\,y' \;-\;2x^{2}(x\,y)^{\tfrac12}y' \;=\;4x\,y\,(x\,y)^{\tfrac12}\;-\;y.
Fatorando y':
y'\,\bigl(x -2x^{2}(x\,y)^{\tfrac12}\bigr) =\;4x\,y\,(x\,y)^{\tfrac12}-y.

Resposta

y' =\frac{4x\,y\,\sqrt{x\,y}\;-\;y}{\,x \;-\;2x^{2}\sqrt{x\,y}\,} =\frac{y\,(4x\sqrt{x\,y}-1)}{x\,(1-2x\sqrt{x\,y})}.

Exercícios relacionados