Diferencie em relação a variável x as funções a seguir:
(a) .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x) = (8x³ − 2x² + x − 7)⁵ em relação a x. O conteúdo envolvido aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função composta: uma parte interna u(x) = 8x³ − 2x² + x − 7 e uma parte externa g(u) = u⁵.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parte interna e a externa da função. Definimos u(x) = 8x³ − 2x² + x − 7 e g(u) = u⁵. Pela regra da cadeia, a derivada f’(x) = g’(u(x)) · u’(x).

Passo 3

Calculamos g’(u). Como g(u) = u⁵, temos g’(u) = 5u⁴.

Passo 4

Calculamos u’(x). Derivando termo a termo:
u(x) = 8x^3 - 2x^2 + x - 7
u'(x) = 24x^2 - 4x + 1

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia juntando g’(u) e u’(x):
f'(x) = 5l(u(x)r)^4 cdot u'(x)
Substituindo u(x) e u’(x) na expressão:
f'(x) = 5l(8x^3 - 2x^2 + x - 7r)^4 cdot (24x^2 - 4x + 1)

Resposta

f’(x) = 5(8x^3 - 2x^2 + x - 7)^4 · (24x^2 - 4x + 1)

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