Usando o teste da integral, estudar a convergência da série sumn=1 n e^-n.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty n e^-n usando o teste da integral, que é conteúdo de séries numéricas e integrais impróprias; vamos precisar definir uma função de variável real associada aos termos da série e verificar as condições do teste da integral.

Passo 2

Escolhemos a função f(x)=x e^-x para x>=1. Primeiro verificamos que f(x)>0 nesse intervalo. Depois calculamos a derivada:
f'(x)=e^-x(1-x)
Como para x>=1 temos 1-x<=0, segue que f'(x)<=0, ou seja, f(x) é decrescente em [1,infty). Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, isto é, analisamos a integral imprópria:
integral1^infty x e^-x ,dx
Para calcular, usamos integração por partes, tomando u=x e dv=e^-xdx. Então du=dx e v=-e^-x. Logo:
integral x e^-xdx = -x e^-x + integral e^-xdx = -x e^-x - e^-x + C = -(x+1)e^-x + C
A integral imprópria fica
integral1^infty x e^-x dx = limbtoinfty l[-(x+1)e^-xr]1^b = 0 - l[-2e^-1r] = 2e^-1,
que é finito.

Passo 4

Como a integral integral1^infty x e^-xdx converge, pelo teste da integral a série sumn=1^infty n e^-n também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n e^-n é convergente pelo teste da integral.

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