Usando o teste da integral, estudar a convergência da série
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da integral, que é conteúdo de séries numéricas e integrais impróprias; vamos precisar definir uma função de variável real associada aos termos da série e verificar as condições do teste da integral.
Passo 2
Escolhemos a função
para
. Primeiro verificamos que
nesse intervalo. Depois calculamos a derivada:
Como para
temos
, segue que
, ou seja,
é decrescente em
. Assim, todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, isto é, analisamos a integral imprópria:
Para calcular, usamos integração por partes, tomando
e
. Então
e
. Logo:
A integral imprópria fica
que é finito.
Passo 4
Como a integral
converge, pelo teste da integral a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente pelo teste da integral.