Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

A equação diferencial dada é 4 y’’ + 4 y’ + y = e^{-x/2} \sqrt{1 - x^2}. Trata-se de uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para usar variação de parâmetros, precisamos primeiro resolver a homogênea, depois obter duas soluções fundamentais, calcular o Wronskiano e aplicar as fórmulas de u₁’ e u₂’.

Passo 2

A parte homogênea é 4 y’’ + 4 y’ + y = 0. Dividindo por 4, temos y’’ + y’ + \tfrac14 y = 0, cuja equação característica é r^2 + r + \tfrac14 = 0. O discriminante é 1 - 1 = 0, logo há raiz dupla r = -\tfrac12. Assim as soluções fundamentais são y_1 = e^{-x/2} e y_2 = x e^{-x/2}, e a solução geral homogênea é y_h = C_1 e^{-x/2} + C_2 x e^{-x/2}.

Passo 3

Com y_1 e y_2 em mãos, montamos o Wronskiano:
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^-x
No formato padrão y’’ + p(x)y’ + q(x)y = g(x), temos g(x) = \frac14 e^{-x/2}\sqrt{1 - x^2}. As fórmulas de variação de parâmetros dão:
$$
u_1’ = -\frac{g(x),y_2}{W} = -\frac{1}{4}x\sqrt{1 - x^2},
\qquad
u_2’ = \frac{g(x),y_1}{W} = \frac{1}{4}\sqrt{1 - x^2}.
$$

Passo 4

Agora integramos para obter ν_1 e ν_2:
Para ν_1:
nu1 = -14integral xraiz1 - x^2,dx = 112(1 - x^2)^3/2
Para ν_2:
nu2 = 14integral raiz1 - x^2,dx = 18xraiz1 - x^2 + 18arcsin(x)

Passo 5

A solução particular é então
yp = nu1 y1 + nu2 y2 = e^-x/2l[tfrac112(1 - x^2)^3/2 + l(tfrac18xraiz1 - x^2+tfrac18arcsin(x)r)xr],
que, ao agrupar termos, fica
yp = e^-x/2l[tfrac2 + x^224raiz1 - x^2 + tfracx8arcsin(x)r]

Resposta

boxedy(x) = C1 e^-x/2 + C2 x e^-x/2 + e^-x/2l[tfrac2 + x^224raiz1 - x^2 + tfracx8arcsin(x)r]

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