Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
A equação diferencial dada é 4 y’’ + 4 y’ + y = e^{-x/2} \sqrt{1 - x^2}. Trata-se de uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para usar variação de parâmetros, precisamos primeiro resolver a homogênea, depois obter duas soluções fundamentais, calcular o Wronskiano e aplicar as fórmulas de u₁’ e u₂’.
Passo 2
A parte homogênea é 4 y’’ + 4 y’ + y = 0. Dividindo por 4, temos y’’ + y’ + \tfrac14 y = 0, cuja equação característica é r^2 + r + \tfrac14 = 0. O discriminante é 1 - 1 = 0, logo há raiz dupla r = -\tfrac12. Assim as soluções fundamentais são y_1 = e^{-x/2} e y_2 = x e^{-x/2}, e a solução geral homogênea é y_h = C_1 e^{-x/2} + C_2 x e^{-x/2}.
Passo 3
Com y_1 e y_2 em mãos, montamos o Wronskiano:
No formato padrão y’’ + p(x)y’ + q(x)y = g(x), temos g(x) = \frac14 e^{-x/2}\sqrt{1 - x^2}. As fórmulas de variação de parâmetros dão:
$$
u_1’ = -\frac{g(x),y_2}{W} = -\frac{1}{4}x\sqrt{1 - x^2},
\qquad
u_1’ = -\frac{g(x),y_2}{W} = -\frac{1}{4}x\sqrt{1 - x^2},
\qquad
u_2’ = \frac{g(x),y_1}{W} = \frac{1}{4}\sqrt{1 - x^2}.
$$
Passo 4
Agora integramos para obter ν_1 e ν_2:
Para ν_1:
Para ν_1:
Para ν_2:
Passo 5
A solução particular é então
que, ao agrupar termos, fica