Diferencie em relação a variável x as funções a seguir:
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Passo 1

O enunciado pede para derivar a função g(x)=x(x^2-1)^4. Vamos usar o conteúdo de derivada de produto e regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Reescrevemos g(x) como produto para aplicar a regra do produto:
g(x)=xcdot(x^2-1)^-4

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
g'(x)=ddx[x]cdot(x^2-1)^-4+xcdotddx[(x^2-1)^-4]
Sabemos que ddx[x]=1.

Passo 4

Para ddx[(x^2-1)^-4] usamos a regra da cadeia: se u=x^2-1, então
ddx[u^-4]=-4,u^-5cdotdudx=-4,(x^2-1)^-5cdot2x=-8x,(x^2-1)^-5

Passo 5

Substituindo na expressão de g'(x) e combinando termos:
g'(x)=(x^2-1)^-4+xl(-8x,(x^2-1)^-5r)=(x^2-1)^-4-8x^2,(x^2-1)^-5
Fatorando (x^2-1)^-5:
g'(x)=l[(x^2-1)-8x^2r](x^2-1)^-5=(-7x^2-1)(x^2-1)^-5

Resposta

g'(x)=-7x^2+1(x^2-1)^5.

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