Usando o teste da raiz, estudar a convergência da série sumn=1 (ln (2 n))^nn^2 n.

Passo 1

A questão pede para estudarmos a convergência da série sumn=1^infty (ln(2n))^nn^2n usando o teste da raiz, que pertence ao conteúdo de séries numéricas e análise de limites de sequência.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para termos an, definimos L = limsupntoinfty raiz[n]|an|Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos an = (ln(2n))^nn^2nVamos calcular raiz[n]|an|: A raiz n-ésima de an é
raiz[n]an = raiz[n](ln(2n))^nn^2n = ln(2n)n^2

Passo 4

Agora avaliaremos o limite limntoinfty ln(2n)n^2 Sabemos que o crescimento de n^2 domina o de ln(2n), logo esse limite é zero.

Passo 5

Como L = 0 < 1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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